Сходимость по распределению

Сходимость по распределению — вид сходимости случайных величин: последовательность случайных величин $(X_{n=1}^{\mathrm{\infty }})$ сходится по распределению к случайной величине $X$, если распределения $P_n$ соответствующих элементов $X_n$ слабо сходятся к распределению $P$ величины $X$Шаблон:Sfn. Используемые обозначения: $X_n\stackrel{d}{⟶}X$, $X_n{\to }^{𝒟}X$.

Случайная величина $X$, определённая на вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ индуцирует распределение (вероятностную меру) ${\mathbb{P}}^X(B)=\mathbb{P}(X^{-1})$; соответственно, последовательность случайных величин $(X_{n=1}^{\mathrm{\infty }})$ сходится по распределению к случайной величине $X$, если для любой непрерывной ограниченной функции $f$:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int f(x){\mathbb{P}}^{X_n}(dx)=\int f(x){\mathbb{P}}^X(dx)$.

С использованием теоремы о замене меры в интеграле Лебега, определение эквивалентно можно сформулировать как сходимость для математических ожиданий для любой непрерывной ограниченной функции $f$:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼f(X_n)=𝔼f(X)$,

иногда это определение используется как основноеШаблон:Sfn.

Другое эквивалентное определение — величины $X_n$ сходятся по распределению к $X$, если их функции распределения $F_{X_n}$ сходятся к функции распределения предела $F_X$ во всех точках непрерывности:

$F_X\in C(x)\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{F}_{X_n}(x)=F_X(x)$.

Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_{X_n}(x)\to f_X(x)$

почти всюду, то $X_n{\to }^{𝒟}X$. Обратное, вообще говоря, неверно.

Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимость почти наверное и сходимость в среднем (то есть в $L^p$ при $p⩾1$)) влечёт сходимость по распределению:

$X_n{\to }^{\mathbb{P}}X\Rightarrow X_n{\to }^{𝒟}X$;

обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, сходимость по распределению может быть рассмотрена как самая слабая форма сходимости случайных величин.

Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции. Теорема Леви о непрерывности связывает сходимость случайных величин по распределению с поточечной сходимостью их характеристических функций.

Литература

• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга