Слабая сходимость

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Определение

Пусть $K$ — топологическое поле, $X$ — топологическое векторное пространство над полем $K$ и $X^{*}$— сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на $X$. Тогда слабой топологией пространства $X$ называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Предбазу слабой топологии образуют множества

$V_{x,f,\epsilon }=\{y\in X:|f(y)-f(x)|<\epsilon \}$

для всех $x\in X$, $f\in X^{*}$, и $\epsilon >0$.

Иначе говоря, последовательность элементов $x_n\in X$ слабо сходится к элементу $x_{\mathrm{\infty }}\in X$, если для любого непрерывного линейного функционала $f\in X^{*}$ последовательность чисел $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_{\mathrm{\infty }})$.

Слабой* топологией в $X^{*}$ называют топологию, предбазу которой образуют множества

$V_{f,x,\epsilon }^{*}=\{g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\epsilon \}$

для всех $x\in X$, $f\in X^{*}$, и $\epsilon >0$.

Иначе говоря, последовательность функций $f_n\in X^{*}$ слабо* сходится к функции $f_{\mathrm{\infty }}\in X^{*}$, если для любого $x\in X$, последовательность чисел $f_n(x)$ сходится к $f_{\mathrm{\infty }}(x)$.

Замечания

Сходимость в пространстве $X$, определяемая его исходной топологией, называется сильной.

Свойства

• Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
• В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильной и слабой сходимости совпадают.
• В случае, когда $X$ — нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов $\{x_n\}\subset X$ является ограниченной, то есть $\Vert x_n\Vert \le C$ для некоторого положительного числа $C$. Последовательность элементов $\{x_n\}\subset X$ слабо сходится к элементу $x_0\in X$, если она является ограниченной и $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$ для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства $X^{*}$, линейная оболочка которого всюду плотна в $X^{*}$.
• Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки. Замкнутый единичный шар пространства $X^{*}$ компактен в слабой* топологии пространства $X^{*}$.
• Теорема Эберлейна — Шмульяна. Подмножество $A$ банахова пространства $X$ слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.

Пример

Пусть $X=C[a,b]$ — пространство непрерывных функций на отрезке $[a,b]$ с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций $\{x_n(\cdot )\}$ слабо сходится к функции $x_0(\cdot )$ тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть $|x_n(t)|\le C$ при всех $t\in [a,b]$ для некоторого положительного числа $C$, и 2) $\{x_n(\cdot )\}$ сходится к $x_0(\cdot )$ поточечно, то есть числовая последовательность $\{x_n(t)\}$ сходится к $x_0(t)$ для любого $t\in [a,b]$.

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, — М.: Наука, 1965.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — Любое издание.
• Рудин У. Функциональный анализ, — М.: Мир, 1975.