Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции (обычно обозначается $\mathrm{C}[a,b]$, иногда $C^0[a,b]$ или $C^{(0)}[a,b]$ или $C(a,b)$) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

$\Vert x{\Vert }_{𝐂[a,b]}=\underset{t\in [a,b]}{\max }|x(t)|$

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

• Если последовательность $x_n$ элементов из $\mathrm{C}[a,b]$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции $x(t)$, то $x_n\rightrightarrows x$ при $n\to \mathrm{\infty }$.
  • Отсюда: $\mathrm{C}[a,b]$ — банахово пространство.
• Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
• В $\mathrm{C}[a,b]$ не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) $C(X,Y)$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций $x:X\to Y$ со введённой на нём нормой:

$\Vert x{\Vert }_{C(X,Y)}=\underset{t\in X}{\sup }\Vert x(t){\Vert }_Y.$

---

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

$\Vert x\Vert =\underset{a}{\overset{b}{\int }}|x(t)|dt$

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность $x_n$

$x_n(t)=\{\begin{array}{c}1,t⩾\frac{1}{n}\\ nt,t\in (-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\ -1,t⩽-\frac{1}{n}\end{array}$

Его пополнение есть $L_1[a,b]$ — пространство суммируемых функций.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга