Тождество параллелограмма

Параллелограмм

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

В евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

$(AB{)}^2+(BC{)}^2+(CD{)}^2+(DA{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2.$

В пространствах со скалярным произведением

Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит такШаблон:Sfn:

$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2,$

где

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩.$

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, $\Vert \cdot \Vert$), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение $⟨x,y⟩$, порождающее эту норму, то есть такое что $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ всех векторов $x$ пространства $V$. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану. Это можно сделать следующем способом:

• для действительного пространства

  $⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4},$ или $\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2}{2},$ или $\frac{\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{2}.$

• для комплексного пространства

  $⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4}+i\frac{\Vert ix-y{\Vert }^2-\Vert ix+y{\Vert }^2}{4}.$

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$, будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

$Q(v)=B(v,v)$,

тогда

$\begin{array}{c}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\ 2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\ 2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}$

См. также

• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.

Ссылки

• Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебраШаблон:Ref-ru

Литература

• Шаблон:Книга