Теорема Эйлера о четырёхугольниках

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $e$ и $f$ , середины которых соединены отрезком $g$ , выполняется равенство:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = e^{2} + f^{2} + 4 g^{2}

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок $g$ имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:

2 a^{2} + 2 b^{2} = e^{2} + f^{2}

каковая называется тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 e^{2}

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

a^{2} + b^{2} = e^{2}

Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой ПифагораШаблон:Sfn.

Альтернативные формулировки и расширения

Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.

Для заданного выпуклого четырёхугольника $A B C D$ Эйлер ввёл дополнительную точку $E$ , такую, что $A B E D$ образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:

| A B |^{2} + | B C |^{2} + | C D |^{2} + | A D |^{2} = | A C |^{2} + | B D |^{2} + | C E |^{2}

Расстояние $| C E |$ между дополнительной точкой $E$ и точкой $C$ четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена $| C E |^{2}$ в исходном равенстве тождества параллелограммаШаблон:Sfn.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $A C$ , то получаем $\frac{| A C |}{| A M |} = 2$ . Точка $N$ является серединой отрезка $B D$ , и она также является серединой отрезка $A E$ , поскольку $A E$ и $B D$ являются диагоналями параллелограмма $A B E D$ . Отсюда получаем $\frac{| A E |}{| A N |} = 2$ , и, следовательно, $\frac{| A C |}{| A M |} = \frac{| A E |}{| A N |}$ . Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что $C E$ и $N M$ параллельны. Тогда $| C E |^{2} = (2 | N M |)^{2} = 4 | N M |^{2}$ , откуда и следует теорема ЭйлераШаблон:Sfn.

Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которое включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве $ℝ^{n}$ , связанных рёбрами с образованием графа-цикла Шаблон:Sfn.