Выпуклый многоугольник

Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри

Выпуклый многоугольник — многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Любой треугольник является выпуклым, но $n$-угольник при $n>3$ может не быть выпуклыми.

Эквивалентные определения

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него.
• Выпуклый многоугольник есть выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• Выпуклый многоугольник есть ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Свойства

Площадь выпуклого $n$-угольника (а также любого многоугольника без самопересечений) с координатами вершин $\{(X_i,Y_i)\}$ (так, чтобы с индексами $i$ и $i+1$ были соседние вершины и $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)$) вычисляется по формуле Гаусса:

$S=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^n(X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})|$.

См. также

• Выпуклый многогранник.
• Выпуклое множество.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга