Полуплоскость

Верхняя полуплоскость

Полупло́скость (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой на плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Говорят, что эта прямая определяет эту полуплоскостьШаблон:Sfn.

Полуплоскость является частным случаем трубчатой областиШаблон:Sfn.

Определение полуплоскости

Декартовы координаты

В общем двумерном случае на плоскости ${ℝ}^2$ с декартовыми координатами $(x,y)$ координаты точек полуплоскости отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой

$L(x,y)=Ax+By+C>0$,

где $A,B,C$ — постоянные, причём $A$ и $B$ одновременно не равны нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Граница полуплоскости — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая

$L(x,y)=Ax+By+C=0$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Комплексные координаты

На комплексной плоскости $ℂ$ с координатами $z=x+iy$ обычно рассматриваются следующие частные случаиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• верхняя полуплоскость (Шаблон:Lang-en) $y=\mathrm{Im}z>0$,
• нижняя полуплоскость $y=\mathrm{Im}z<0$,
• левая полуплоскость $x=\mathrm{Re}z<0$,
• правая полуплоскость $x=\mathrm{Re}z>0$.

Верхняя полуплоскость $\mathrm{Im}z>0$ комплексной плоскости $ℂ$ конформно отображается на круг $|w|<1$ с помощью с помощью дробно-линейного преобразования:

$w=e^{i\theta }\frac{z-\beta }{z-\overline{\beta }}$,

где $\theta$ — любой вещественное число, а $\mathrm{Im}\beta >0$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полупространство

Полупространство (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) — в случае трёхмерного пространства множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта плоскость определяет полупространствоШаблон:Sfn.

В общем трёхмерном случае в пространстве ${ℝ}^3$ с декартовыми координатами $(x_1,x_2,x_3)$ координаты точек $3$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой

$L(x,y,z)=Ax+By+Cz+D>0$,

где $A,B,C,D$ — постоянные, причём $A$, $B$ и $C$ одновременно не равны нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полоса

Вертикальная полоса

Полоса́ (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn; синоним — поло́скаШаблон:Sfn) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полоса является выпуклой областьюШаблон:Sfn, а также частным случаем трубчатой областиШаблон:Sfn.

Плоская полоса

В общем двумерном случае на плоскости ${ℝ}^2$ с координатами $(x,y)$ координаты точек плоской полосы отвечают следующим неравенствам, использующим общее уравнение прямой

$C_1<Ax+By<C_2$,

где $A,B,C_1,C_2$ — постоянные, причём $A$ и $B$ одновременно не равны нулюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В литературе подобные неравенства часто также пишут в следующем нестрогом видеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$C_1⩽Ax+By⩽C_2$,

Полосу можно также определить, задав уравнения прямых, которые её ограничивают, или даже указав направление этих прямых, точку на плоскости на середине полосы и её ширинуШаблон:Sfn.

Обычно система координат подбирается таким образом, чтобы прямые, которые ограничивают полосу, были параллельны одной из осей координатШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Горизонтальная полоса, или полоса, параллельная оси абсцисс (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn), — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны горизонтальной оси абсциссШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Вертикальная полоса, или полоса, параллельная оси ординат (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn), — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны вертикальной оси ординатШаблон:SfnШаблон:Sfn.

При использовании горизонтальных и вертикальных полос неравенство полосы упрощается. Горизонтальную полосу можно задавать следующими неравенствамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$C_1<y<C_2$, $C_1⩽y⩽C_2$, $|y|<C$, $|y|⩽C$,

а вертикальную полосу — следующими неравенствами:

$C_1<x<C_2$, $C_1⩽x⩽C_2$, $|x|<C$, $|x|⩽C$.

На комплексной плоскости $ℂ$ с координатами $z=x+iy$ конформное преобразование $w=e^z$ отображает полосу $0<y<\pi$ на верхнюю полуплоскостьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, а полосу $0<y<2\pi$ — на всю плоскость без положительной полуоси $\{x>0,y=0\}$Шаблон:Sfn. Однолистное и конформное преобразование $w=\mathrm{tg}z$ отображает полосу $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{4}$ на внутренность единичного кругаШаблон:Sfn.

Полуполоса

Полуполоса — любая из двух областей, на которые разбивает полосу прямая, её пересекающая и перпендикулярная границе. Например, вертикальную полуполосу можно задать следующими неравенствамиШаблон:Sfn:

$C_1<x<C_2,y>0.$

На комплексной плоскости $ℂ$ с координатами $z=x+iy$ однолистное и конформное преобразование $w=\sin z$ отображает полуполосу $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},y>0$ на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именноШаблон:Sfn:

• вертикальные лучи $\{x=x_0,0<y<\mathrm{\infty }\}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами $\pm 1$;
• горизонтальные отрезки $\{-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},y=y_0\}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами $\pm 1$.

• Преобразование полуполосы в полуплоскость
• 
  Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией $w=\sin z$

Пространственная полоса

Простра́нственная полоса — в случае трёхмерного пространства множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными плоскостями пространстваШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эти две плоскости ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В пространстве ${ℝ}^n$ систему координат $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ можно подобрать таким образом, что координаты точек пространственной $n$-мерной полосы будут задаваться следующими неравенствами:

$C_1<x_1<C_2$,

где $C_1,C_2$ — постоянныеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H