Трубчатая область

Тру́бчатая о́бласть (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий полуплоскости и полосыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: трубаШаблон:Sfn; цилиндрическая область (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn.

Определение трубчатой области

Трубчатая область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат также и все точки следующего видаШаблон:Sfn:

$z=\{z_k^0+i{y}_k\},-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty },k=1,2,\dots ,n.$

Произвольную трубчатую область $D$ можно всегда представить в более простом виде — как следующее прямое произведение:

$B\times {ℝ}^n(y)$,

где область $B\in {ℝ}^n(x)\subset {ℂ}^n$, $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ называется основанием области $D$, а вещественное пространство ${ℝ}^n(y)$ состоит из точек $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n).$ В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием $B\in {ℝ}^n(x)$Шаблон:Sfn.

Пользуясь тем, что $z=x+iy$, где $x$ и $y$ можно представить как вещественные $n$-мерные векторы, произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем видеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$T=B+i{ℝ}^n(y)$,

то есть

$T=\{x+iy:x\in B,y\in {ℝ}^n\}$,

либо в следующем виде:

$T={ℝ}^n(x)+iB$.

Свойства трубчатой области

Область $B+i{ℝ}^n(y)$ отображается на область ${ℝ}^n(x)+iB$ преобразованием $w=iz$Шаблон:Sfn.

Автоморфизмы трубчатой области — это преобразования $w=z+a$, где $a$ — произвольный вещественный векторШаблон:Sfn.

На комплексной плоскости $ℂ$ полуплоскости

$\{x>\alpha \}$ или $\{x<\alpha \}$

и полосы

$\{\alpha <x<\beta ,-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty }\}$

суть трубчатые областиШаблон:Sfn.

Существует следующая связь между трубчатой областью и областью Рейнхарта. Отображение

$\phi :z_k\to e^{z_k},k=1,2,\dots ,n,$

переводит трубчатую область $T$ в соответствующую область Рейнхарта $D$ таким образом, что основанию $B$ области $T$ соответствует множеству $D_{+}$, то есть диаграмме Рейнхарта области $D$Шаблон:Sfn.

Оболочка голоморфности любой трубчатой области совпадает с её выпуклой оболочкой. Как частный случай любая функция, голоморфная в трубчатой области, продолжается до функции, голоморфной в её выпуклой оболочкеШаблон:Sfn.

Радиальная трубчатой область — трубчатой область, основание которой есть связный конус в ${ℝ}^n$Шаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H