Область Рейнхарта

Диаграмма неполной области Рейнхарта в ${ℂ}^3$

О́бласть Ре́йнхарта (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Шаблон:IwШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: кратно-круговая областьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn; $n$-круговая область (Шаблон:Lang-en)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

$z_1-a_1,z_2-a_2,\dots ,z_n-a_n,$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

$z_1,z_2,\dots ,z_n$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром $a=0$Шаблон:Sfn.

Область Рейнхарта есть частный случай круговой областиШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также кратно-кругообразной областиШаблон:Sfn.

Определение области Рейнхарта

Область Рейнхарта (Шаблон:Lang-en) — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

$z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$

в области $D$ лежат также и все точки следующего видаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-a_k|=|z_k^0-a_k|,k=1,2,\dots ,n\},$

или

$z=\{a_k+(z_k^0-a_k)e^{i{\theta }_k}\},$ $0<{\theta }_k<2\pi ,$

или

$z=a+(z^0-a)e^{i\theta },$ $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\in ℝ.$

При $a=0$ получаемШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$z=z^0{e}^{i\theta },$ $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\in ℝ.$

Присутствующая в определении точка $a\in {ℂ}^n$ называется центром области РейнхартаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмыШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$z_k=a_k+(z_k^0-a_k)e^{i{\theta }_k},$ $0⩽{\theta }_k⩽2\pi ,$ $k=1,2,\dots ,n.$

Теорема. Для связной области Рейнхарта $D\subset {ℂ}^n$, причём начало координат $0\in D$, голоморфная в $D$ функция $f(z)$ может быть разложена на области $D$ в ряд по степеням $z$

$f(z)=\sum _{m\in {\mathbb{N}}^n}{a}_m{z}^m$,

причём этот ряд Шаблон:Iw на области $D$ и это разложение единственноШаблон:Sfn.

Указанный в теореме ряд в общем случае будет сходиться и за пределами области Рейнхарта, имея своей областью сходимости соответствующую полную область Рейнхарта, в которой содержится исходная область Рейнхарта $D$. Но не любая полная область $D\subset {ℂ}^n$ служит такой областью сходимости рядаШаблон:Sfn.

Полная область Рейнхарта

Полная область Рейнхарта (Шаблон:Lang-en) — область Рейнхарта $D$, в которой с каждой точкой

$z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$

лежит следующий поликругШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-a_k|⩽|z_k^0-a_k|,k=1,2,\dots ,n\},$

или

$z=\{a_k+(z_k^0-a_k){\lambda }_k\},$ $|{\lambda }_k|⩽1,$

или

$z=a+(z^0-a){\lambda }_k,$ $|{\lambda }_k|⩽1.$

При $a=0$ получаемШаблон:Sfn:

$z=z^{0^{\prime }},$ $|z_k^{0^{\prime }}|⩽|z_k^0|.$

Полная область Рейнхарта $D$ звездообразна относительно своего центра $a\in D$Шаблон:Sfn. Примеры полных областей Рейнхарта: шар и поликругШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. В случае $n=1$ приведём следующие примерыШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• неполные области Рейнхарта — кольца

$\{r<|z-a|<R\}$,

• полные области Рейнхарта — круги

$\{|z-a|<R\}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полная область Рейнхарта $D\in {ℂ}^n$, пересекаясь с любой плоскостью

$z_1=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},\dots ,z_{j-1}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},z_{j+1}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},\dots ,z_n=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

вырезает в ней полный кругШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта — наиболее важный вид кратно-кругообразной области. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта $D$, её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта $\tilde{D}$. Так полученная область $\tilde{D}$ называется рейнхартовым аналитическим расширением областиШаблон:Sfn.

Относительно полная область Рейнхарта

Относительно полная область Рейнхарта — область Рейнхарта

$\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-a_k|=|z_k^0-a_k|,k=1,2,\dots ,n\},$

которая при постоянном $k$ либо совсем не пересекается с плоскостью $\{z_k=a_k\}$, либо с каждой точкой $z^0$ включает и все такие точки $z$, для которых

$|z_k-a_k|⩽|z_k^0-a_k|,k=1,2,\dots ,n,$

а остальные координаты те же самые, что у $z^0$, причём это условие выполняется для всех $k$Шаблон:Sfn.

Другими словами, когда область Рейнхарта ни с какой плоскостью $\{z_k=a_k\}$ не пересекается, условие относительной полноты никаких ограничений на такую область Рейнхарта вообще не накладывает. И только при пересечении области Рейнхарта с каждой из плоскостей $\{z_k=a_k\}$ возникает дополнительное условиеШаблон:Sfn.

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта (Шаблон:Lang-en) — область Рейнхарта как логарифмически выпуклое множествоШаблон:Sfn.

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

$z_1-a_1,z_2-a_2,\dots ,z_n-a_n,$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

$z_1,z_2,\dots ,z_n$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром $a=0$Шаблон:Sfn.

Диаграмма Рейнхарта

Поскольку центр $a$ области Рейнхарта $D$ всегда можно сдвинуть в начало координат комплексного пространства ${ℂ}^n$, то можно считать без ограничения общности, что $a=0$. Область Рейнхарта $D$ с так упрощённым описанием инвариантна относительно следующего преобразования:

$\{z^0\}\to \{z_k^0{e}^{i{\theta }_k}\},$ $0⩽{\theta }_k<2\pi ,$ $k=1,2,\dots ,n,$

то есть с любой своей точкой $\{z_k\}$ область Рейнхарта $D$ включает также и все точки с теми же $|z_k|,$ $k=1,2,\dots ,n,$ и всевозможными аргументамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Отсюда следует, что можно рассмотреть отображение

$z\to \alpha (z)=(|z_1|,|z_2|,\dots ,|z_n|)$

$2n$-мерного пространства ${ℂ}^n$ в $n$-мерное пространство ${ℝ}^n$, точнее говоря, в абсолютный октант ${ℝ}_{+}^n$Шаблон:Sfn}Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Абсолютный октант ${ℝ}_{+}^n$ — восьмая часть $n$-мерного пространства ${ℝ}^n$:

${ℝ}_{+}^n=\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{{ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}\times \cdots \times {ℝ}_{+}}}$,

где ${ℝ}_{+}=[0,\mathrm{\infty })$ — полуось неотрицательных чиселШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Диаграмма, или изображение, Рейнхарта $D_{+}$ области $D$ (Шаблон:Lang-en) — множество точек абсолютного октанта $D_{+}\in {ℝ}_{+}^n$, в которое переводит область $D\in {ℂ}^n$ при отображении $\alpha (z):{ℂ}^n\to {ℝ}_{+}^n$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В частности, в случае полной области Рейнхарта $D$ диаграмма Рейнхарта $D_{+}$ есть область и обладает тем свойством, что вместе с каждой точкой $\{|z_k^0|\}$ в области $D_{+}$ лежит и весь прямоугольный параллелепипед, или призма, $\{|z_k|⩽|z_k^0|,k=1,2,\dots ,n\}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта полностью характеризуется своей диаграммой Рейнхарта. Например, если $D$ связно, то и $D_{+}$ связно (и наоборот), если $D$ открыто, то и $D_{+}$ открытоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:ЯкорьШаблон:Якорь В случае области Рейнхарта, или двоякокруглой области, расположенной в двумерном комплексном пространстве ${ℂ}^2$ двух комплексных переменных $z$ и $w$, абсолютный октант есть абсолютная четверть-плоскость с координатами $|z|$ и $|w|$Шаблон:Sfn.

Свойство диаграммы Рейнхарта понижать размерность пространства на $n$ единиц делает изображение Рейнхарта наглядным для $n=2$ и $n=3$. На рисунках ниже показаны диаграммы Рейнхарта для $n=2$ и $n=3$ шара $\{|z|<1\}$ и поликруга $\{|z_k|<1\}$; для поликруга изображены множества ${\mathrm{\Gamma }}_k$ его границы и его остов $\mathrm{\Gamma }$Шаблон:Sfn.

• Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для $n=2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для $n=3$
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга для $n=2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга для $n=3$

Пример

Рассмотрим некоторое множество $M\subset {ℂ}^2$ с диаграммой Рейнхарта $\alpha (M)$, показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ $\lambda (M_0)$ этого множества показана на рисунке ниже справаШаблон:Sfn.

• Диаграмма Рейнхарта и логарифмический образ в C×C
• 
  Диаграмма Рейнхарта логарифмически выпуклой оболочки $\alpha ({\hat{M}}_L)$ некоторого множества $M$ в ${ℂ}^2$ и выпуклая оболочка его логарифмического образа $\lambda (M_0)$

Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа $\lambda (M_0)$ есть логарифмически выпуклая оболочка ${\hat{M}}_L$ множества $M$. Диаграммы Рейнхарта оболочки $\alpha ({\hat{M}}_L)$ и исходного множества $\alpha (M)$ отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ $\lambda (M_0)$ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой

$\ln |z_2|=\ln |r|+\ln |R|-\ln |z_1|$,

поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта $\alpha (M)$, ограничен частью следующей гиперболыШаблон:Sfn:

$|z_2||z_1|=|r||R|$.

Круговая область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую областьШаблон:Sfn.

Круговая область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат и все точки вида

$z=\{a+(z^0-a)e^{i\theta }\},$ $0<\theta <2\pi ,$

другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданную точку $a\in {ℂ}^n$ и любую точку $z^0\in D$, с центром $a$ и следующим радиусомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$|z^0-a|=\sqrt{\sum _{k=1}^n|z_k^0-a_k{|}^2}$.

При $a=0$ получаемШаблон:Sfn:

$z=z^0{e}^{i\theta },$ $0<\theta <2\pi .$

Присутствующая в определении точка $a\in {ℂ}^n$ называется центром круговой областиШаблон:Sfn.

Синоним: круговое точечное множествоШаблон:Sfn.

Круговая область есть частный случай области ХартогсаШаблон:Sfn.

Теорема. Для связной круговой области $D\subset {ℂ}^n$, причём начало координат $0\in D$, голоморфная в $D$ функция $f(z)$ может быть разложена на области $D$ в ряд по однородным многочленам

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_k(z)$,

где $P_k(z)$ — однородный многочлен степени $k$ по переменным $z_1,z_2,\dots ,z_n$, причём этот ряд Шаблон:Iw на области $D$ и это разложение единственноШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Полная круговая область — круговая область $D$, в которой с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ лежит весь следующий кругШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{z=a+(z^0-a)\lambda \},$ $|\lambda |⩽1.$

При $a=0$ достаточно простое преобразование комплексного пространства ${ℂ}^n$ вида

$(z_1,z_2,\dots ,z_n)\to (\frac{z_1}{z_n},\frac{z_2}{z_n},\dots ,\frac{z_{n-1}}{z_n},z_n)$

переводит круговую область $D$ в область Хартогса, причём указанное преобразование определено только на области $D$ без начала координат $D\setminus \{z=0\}$, поскольку оно имеет особенность при $z=0$Шаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H