Поликруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\mathrm{Re}{z}_1,\mathrm{Im}{z}_2)$

Поликру́г (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шарШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: полидискШаблон:Sfn; круговой полицилиндрШаблон:SfnШаблон:Sfn; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$-метрикеШаблон:Sfn; произведение круговШаблон:Sfn.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобластьШаблон:Sfn.

Поликруг есть частный случай полной области РейнхартаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение поликруга

Поликруг (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) радиуса $r$ с центром в точке $z_0$ — множество точек $z$ комплексного пространства $C^n$ произвольной размерности $n$

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,r)=\{z\in {ℂ}^n:\Vert z-z_0\Vert <r\}=$

$=\{z=(r_1,r_2,\dots ,r_n)\in {ℂ}^n:\underset{k}{\max }|z_k-z_{0k}|<r,k=1,2,\dots ,n\}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: полидискШаблон:Sfn; круговой полицилиндрШаблон:SfnШаблон:Sfn; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$-метрикеШаблон:Sfn; поликруг с равными радиусами (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn; полицилиндр с равными радиусамиШаблон:Sfn; произведение круговШаблон:Sfn.

Так определённый поликруг — это шар с центром $z_0$ в поликруговой $\rho$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение $n$ плоских кругов

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,r)=\mathrm{\Delta }(z_{01},r)\times \mathrm{\Delta }(z_{02},r)\times \cdots \times \mathrm{\Delta }(z_{0n},r),$

$\mathrm{\Delta }(z_{0k},r)=\{z_k\in ℂ:|z_k-z_{0k}|<r\},k=1,2,\dots ,n,$

радиуса $r$ с центрами в точках $z_{0k}$Шаблон:Sfn.

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn), $𝐫=(r_1,r_2,\dots ,r_n)$ с центром в точке $z_0$ — это следующее множество точекШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,𝐫)=\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-z_{0k}|<r_k,k=1,2,\dots ,n\}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение $n$ плоских кругов с разными радиусами $r_k$ и одним центром $z_0$Шаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,𝐫)=\mathrm{\Delta }(z_{01},r_1)\times \mathrm{\Delta }(z_{02},r_2)\times \cdots \times \mathrm{\Delta }(z_{0n},r_n),$

$\mathrm{\Delta }(z_{0k},r_k)=\{z_k\in ℂ:|z_k-z_{0k}|<r_k\},k=1,2,\dots ,n,$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть $z_0=0$, и единичным радиусом, то есть $r=1$Шаблон:Sfn.

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точекШаблон:Sfn:

$E^n(𝐫)=\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k+\sqrt{r_k^2-1}|<r_k,r_k>1,k=1,2,\dots ,n\}.$

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

$z_k=b_k+\sum _{p=1}^n{a}_{kp}z{\text{'}}_p,k=1,2,\dots ,n$

комплексного пространстваШаблон:Sfn.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобластьШаблон:Sfn.

Поликруг есть частный случай полной области РейнхартаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Граница поликруга

Граница поликруга — множество $\partial {\mathrm{\Delta }}^n$ всех точек, обладающих следующими двумя свойствамиШаблон:Sfn:

• хотя бы одна координата $z_k$ принадлежит границе $k$-го круга;
• остальные координаты $z_l,l\ne k,$ имеют произвольные значения в замкнутых кругах.

Граница $\partial {\mathrm{\Delta }}^n$ поликруга ${\mathrm{\Delta }}^n$ состоит естественным образом из $n$ множеств

${\mathrm{\Gamma }}_k=\{z\in {ℂ}^n:|z_k-z_{0k}|=r_k,|z_l-z_{0l}|⩽r_l,l\ne k\}$

размерности $2n-1$, поскольку на $2n$ координат любой точки $z$ накладывается одно вещественное условие $|z_k-z_{0k}|=r_k$. Следовательно, и вся граница $\partial {\mathrm{\Delta }}^n=\bigcup _{k=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_k$ поликруга Шаблон:SШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Остов поликруга — $n$-мерное пересечение всех множеств границы поликруга ${\mathrm{\Gamma }}_k$

$\mathrm{\Gamma }=\mathrm{Sk}{\mathrm{\Delta }}^n=\partial {\mathrm{\Delta }}_1\times \partial {\mathrm{\Delta }}_2\times \cdots \times \partial {\mathrm{\Delta }}_n=$

$=\{z\in {ℂ}^n:|z_k-z_{0k}|=r_k,k=1,2,\dots ,n\},$

которое представляет собой топологическое произведение $n$ окружностейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Бикруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\mathrm{Re}{z}_1,\mathrm{Im}{z}_2)$

Определение бикруга

Бикруг (Шаблон:Lang-en) — поликруг размерности 2. Рассмотрим единичный бикруг (Шаблон:Lang-en) радиуса $r$ с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражениемШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}^2=\{z\in {ℂ}^2:|z_1|<1,|z_2|<1\}$.

Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров

$(\mathrm{Re}{z}_1{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_1{)}^2<1,$ $(\mathrm{Re}{z}_2{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_2{)}^2<1,$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественнымШаблон:Sfn.

Граница бикруга

Граница (Шаблон:Lang-en) единичного бикруга есть трёхмерное тело $\partial \mathrm{\Delta }={\mathrm{\Gamma }}_1\cup {\mathrm{\Gamma }}_2$, причём

${\mathrm{\Gamma }}_1=\{|z_1|=1,|z_2|⩽1\}$

тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:

${\mathrm{\Gamma }}_1=\bigcup _{\theta =0}^{2\pi }\{z_1=e^{i\theta },|z_2|⩽1\},$

а для тела ${\mathrm{\Gamma }}_2$ всё аналогичноШаблон:Sfn.

Остов бикруга

Двумерный остов бикруга $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_1\cap {\mathrm{\Gamma }}_2$ есть тор

$\mathrm{\Gamma }=\{|z_1|=1,|z_2|=1\}$Шаблон:Sfn.

Действительно, рассмотрим отображение

$z_1=e^{i{\theta }_1},z_2=e^{i{\theta }_2},$

которое голоморфно преобразует на двумерный остов $\mathrm{\Gamma }$ некоторый квадрат

$\{0⩽{\theta }_1⩽2\pi ,0⩽{\theta }_2⩽2\pi \},$

у которого, поскольку $e^{i({\theta }_k+2\pi )}=e^{i{\theta }_k}$, отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен торШаблон:Sfn.

Этот тор $\mathrm{\Gamma }$, как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей

$\{z_1=e^{i{\theta }_1},|z_2|=1\},\{z_1=1,|z_2|=e^{i{\theta }_2}\},$

$0⩽{\theta }_1,{\theta }_2<2\pi ,$

и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семействШаблон:Sfn.

Также тор $\mathrm{\Gamma }$ есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров

$(\mathrm{Re}{z}_1{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_1{)}^2=1,$ $(\mathrm{Re}{z}_2{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_2{)}^2=1,$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в ${ℝ}^4$ на трёхмерной сфере

$(\mathrm{Re}{z}_1{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_1{)}^2+(\mathrm{Re}{z}_2{)}^2+(\mathrm{Im}{z}_2{)}^2=2$Шаблон:Sfn.

Геометрическое представление бикруга

Один из способов геометрического представления бикруга следующийШаблон:Sfn:

1) выбираем в двумерном комплексном пространстве ${ℂ}^2$ трёхмерную сферу

$\{|z|=\sqrt{2}\};$

2) на сфере фиксируем двумерный тор

$\mathrm{\Gamma }=\{|z_1|=1,|z_2|=1\};$

3) на тор натягиваем два трёхмерных тела

${\mathrm{\Gamma }}_1=\{|z_1|=1,|z_2|⩽1\},$ ${\mathrm{\Gamma }}_2=\{|z_1|⩽1,|z_2|=1\},$

которые лежат в шаровом слое

$\{1⩽|z|⩽\sqrt{2}\};$

4) объединение ${\mathrm{\Gamma }}_1\cup {\mathrm{\Gamma }}_2$ этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.

Слой бикруга

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикруговШаблон:Sfn.

Слой бикруга — точечное множество $\mathrm{\Omega }$ комплексного пространства ${ℂ}^n(z)$, который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикругаШаблон:Sfn:

$\mathrm{\Omega }\equiv {\mathrm{\Delta }}^2(0,R)\setminus {\overline{\mathrm{\Delta }}}^2(0,r),$ $0<r<R.$

Полиобласть

Поликруг естественным образом обобщается на полиобластьШаблон:Sfn.

Полиобласть (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) $D=D_1\times D_2\times \cdots \times D_n$ — топологическое произведение $n$ следующих в общем случае плоских многосвязных областейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$D_k\subset ℂ,k=1,2,\dots ,n.$

Синонимы: поликруговая областьШаблон:SfnШаблон:Sfn; обобщённый полицилиндрШаблон:SfnШаблон:Sfn; полицилиндрическая областьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Если все плоские области $D_k$ односвязны, то в этом случае полиобласть $D$ гомеоморфна шаруШаблон:Sfn.

Граница $\partial D$ полиобласти $D$ состоит естественным образом из $n$ множеств

${\mathrm{\Gamma }}_k=\{z\in {ℂ}^n:z_k\in \partial D_k,z_l\in \overline{D_l},l\ne k\},$ $k=1,2,\dots ,n$

размерности $2n-1$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Остов полиобласти $D$ — $n$ мерное пересечение всех множеств ${\mathrm{\Gamma }}_k$

$\mathrm{\Gamma }=\partial D_1\times \partial D_2\times \cdots \times \partial D_n=$

$=\{z\in {ℂ}^n:z_k\in \partial D_k,k=1,2,\dots ,n\},$

которое представляет собой топологическое произведение $n$ областейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H