Граница (топология)

Шаблон:Значения Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,𝒯)$, где $X$ — произвольное множество, а $𝒯$ — определённая на $X$ топология. Пусть рассматривается множество $A\subset X.$ Тогда точка $x_0\in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$, только если для любой её окрестности $U\ni x_0,$ целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

$U\cap A\ne \varnothing$ и одновременно с этим $U\cap A^{\complement }\ne \varnothing .$

Множество всех граничных точек множества $A$ называется границей множества $A$ (в $X$) и обозначается $\partial A$ или ${\partial }_{X}A$ если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства $X$.

Свойства

• $\partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);$
• $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ };$
• $\partial A$ — замкнутое множество;
• $A$ — открытое множество тогда и только тогда, когда $A\cap \partial A=\mathrm{\varnothing };$
• $A$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A\subset A;$
• $A$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A=\mathrm{\varnothing };$
• $\partial \partial A\subset \partial A$, причем равенство $\partial \partial A=\partial A$ достигается тогда и только тогда, когда $(\partial A{)}^{\circ }=\mathrm{\varnothing };$
• $\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую $ℝ$ со стандартной топологией. Тогда: для $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$:

• Для $-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$: ${\partial }_{ℝ}(a,b)={\partial }_{ℝ}(a,b]={\partial }_{ℝ}[a,b)={\partial }_{ℝ}[a,b]=\{a,b\};$
• ${\partial }_{ℝ}ℝ=\varnothing ;$
• ${\partial }_{ℝ}\mathbb{Q}=ℝ.$

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

Например, дана стандартная топология на ${ℝ}^2.$ Тогда граница открытого круга $\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2<1\}$ относительно этой топологии равна окружности $\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2=1\},$ потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом $\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2<1\},$ так и с его дополнением $\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2⩾1\},$ граничная точка должна быть на окружности $\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2=1\}.$

Если же рассмотреть стандартную топологию на ${ℝ}^3,$ то границей открытого круга $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2<1\}$ будет замкнутый круг $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2⩽1\},$ поскольку внутри ${ℝ}^3$ окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2<1\}$ относительно ${ℝ}^3$ уже является $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2⩾1\}\cup {ℝ}^2\times (ℝ\setminus \{0\})$. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2<1\}$ уже будет попадать не только любая точка окружности $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2=1\},$ но и любая точка исходного множества $\{(x,y,0)\in {ℝ}^3:x^2+y^2<1\}.$

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)