Край многообразия

Край многообра́зия $\partial M^{n}$ — множество всех точек Шаблон:S многообразия $M^{n}$ , которые не имеют окрестности, гомеоморфной Шаблон:S евклидову пространству $ℝ^{n}$ Шаблон:Sfn.

Более формально, край многообразия $\partial M^{n}$ — подмножество замыкания $\overline{M^{n}}$ вещественного Шаблон:S многообразия $M^{n}$ (возможно, открытого) такое, что некоторая окрестность каждой точки этого подмножества гомеоморфна некоторой области $W^{n}$ некоторого замкнутого полупространства $ℝ_{+}^{n}$ вещественного $n$ -мерного пространства $ℝ^{n}$ , причём эта область $W^{n}$ открыта в полупространстве $ℝ_{+}^{n}$ , но не во всём пространстве $ℝ^{n}$ Шаблон:Sfn.

Краевая точка области $W^{n} \subset ℝ_{+}^{n}$ — точка пересечения $\overline{W^{n}}$ с границей полупространства $ℝ_{+}^{n}$ Шаблон:Sfn.

Краевая точка многообразия $M^{n}$ — точка $a \in \overline{M^{n}}$ , которая соответствует краевой точке области $W^{n} \subset ℝ_{+}^{n}$ Шаблон:Sfn. Другими словами, точка Шаблон:S многообразия $M^{n}$ , которая не имеет окрестности, гомеоморфной Шаблон:S евклидову пространству $ℝ^{n}$ Шаблон:Sfn.

Внутренняя точка многообразия — точка Шаблон:S многообразия $M^{n}$ , которая имеет окрестность, гомеоморфную Шаблон:S евклидову пространству $ℝ^{n}$ Шаблон:Sfn.

Внутренность, или внутренняя часть, многообра́зия $int M^{n}$ — множество всех внутренних точек Шаблон:S многообразия $M^{n}$ Шаблон:Sfn.

Многообразие с краем — многообразие, имеющее хотя бы одну краевую точкуШаблон:Sfn.

Простейший пример $n$ -мерного многообразия с краем $ℝ^{n - 1}$ — полупространство $ℝ_{+}^{n}$ Шаблон:Sfn.

Замкнутое многообразие — компактное многообразие без краяШаблон:Sfn.

Предложение 1. Замкнутое множество всех краевых точек $\partial M^{n}$ вещественного Шаблон:S многообразия $M^{n}$ есть Шаблон:S многообразие без края, а разность множеств $M^{n} ∖ \partial M^{n} = int M^{n}$ , которое есть всюду плотное открытое множество, — Шаблон:S многообразие без краяШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.