Замыкание (топология)

Шаблон:Другие значения Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества $S$ обычно обозначается $\overline{S}.$ Другие обозначения: $\mathrm{cl}(S),\mathrm{Cl}(S).$

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть $S$ есть подмножество топологического пространства $X.$ Замыканием $S$ в $X$ называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $S.$

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка $x$ топологического пространства $X$ называется точкой прикосновения множества $S,$ если любая окрестность $x$ содержит хотя бы одну точку множества $S.$

Множество всех точек прикосновения $S$ называется замыканием $S.$

Свойства

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   $S\subseteq \overline{S}.$

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   $S=\overline{S}.$

5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):

   $\overline{\overline{S}}=\overline{S}.$

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   $(S\subset T)\Rightarrow (\overline{S}\subset \overline{T}).$

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   $\overline{S\cup T}=\overline{S}\cup \overline{T}.$

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   $\overline{S\cap T}\subset \overline{S}\cap \overline{T}.$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая $ℝ$ с заданной на ней стандартной топологией.

• $\overline{(a,b)}=[a,b];$
• $\overline{\mathbb{Q}}=ℝ,$ где $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел.

Ссылки

• Гулько С. П., Гензе Л. В. Топология в анимациях, 1.3. Замыкание