Область Хартогса

Диаграмма Хартогса неполной области в ${ℂ}^2$

О́бласть Харто́гса (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика Шаблон:IwШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синоним: полукруговая областьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего рядаШаблон:Sfn:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z_1,z_2,\dots ,z_{n-1})z_n^k.$

Область Хартогса есть частный случай кругообразной областиШаблон:Sfn.

Определение области Хартогса

Область Хартогса (Шаблон:Lang-en) — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_{n-1}^0,z_n^0)\equiv {(}^{\prime }{z}^0,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат также и все точки следующей окружностиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{{(}^{\prime }{z}^0,a_n+(z_n^0-a_n)e^{i{\theta }_n}),0⩽{\theta }_n<2\pi \}.$

Так определённая область Хартогса имеет плоскость симметрии $\{z_n=a_n\}$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Хартогса имеет следующий автоморфизмШаблон:Sfn:

$w_n=a_n+(z_n-a_n)e^{i{\theta }_n},{}^{\prime }w={}^{\prime }z.$

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего рядаШаблон:Sfn:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z_1,z_2,\dots ,z_{n-1})z_n^k.$

Шаблон:Якорь Полная область Хартогса (Шаблон:Lang-en) — область Хартогса $D$, в которой с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_{n-1}^0,z_n^0)\equiv {(}^{\prime }{z}^0,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежит следующий кругШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{{(}^{\prime }{z}^0,a_n+(z_n^0-a_n){\lambda }_n),|{\lambda }_n|⩽1\},$

или

$\{{(}^{\prime }{z}^0,z_n),|z_n-a_n|⩽|z_n^0-a_n|\}.$

Диаграмма Хартогса

Диаграмма Хартогса неполной области в ${ℂ}^2$

Диаграмма Хартогса — образ области Хартогса $D\subset {ℂ}^n$ с плоскостью симметрии $\{z_n=0\}$ в пространстве размерности $(2n-1)$, определяемый следующим преобразованиемШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$D\to {}^{\prime }D\times {ℝ}_{+}:{(}^{\prime }z,z_n)\to {(}^{\prime }z,|z_n|),$

где ${}^{\prime }D\subset {ℂ}^{n-1}$ — проекция $D$ в ${ℂ}^{n-1}$, то есть множество всех ${}^{\prime }z$ для $z\in D$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Диаграмме Хартогса полной области $D$ вместе с любой точкой ${(}^{\prime }{z}^0,|z_n^0|)\in {}^{\prime }D\times {ℝ}_{+}$ принадлежит и весь следующий отрезокШаблон:Sfn:

$\{{(}^{\prime }{z}^0,|z_n|):|z_n|⩽|z_n^0|\}.$

Диаграмма Хартогса понижает размерность пространства с областью на единицу и в случае $n=2$ вполне наглядна. На рисунке справа показана неполная область Хартогса, причём точка на этой диаграмме Хартогса представляет окружность, тогда как вертикальный отрезок, основание которого находится в области ${}^{\prime }D\subset {ℂ}^{n-1}$, — это кругШаблон:Sfn.

На рисунке внизу на диаграмме Хартогса показаны области из пространства ${ℂ}^2$: шар и бикруг; для бикруга хорошо просматриваются трёхмерные части его границы ${\mathrm{\Gamma }}_1$ и ${\mathrm{\Gamma }}_2$, а также его остов $\mathrm{\Gamma }$Шаблон:Sfn.

• Диаграммы Хартогса шара и поликруга
• 
  Диаграмма Хартогса шара в ${ℂ}^2$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${ℂ}^2$

Кругообразная область

Определение кругообразной области

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную областьШаблон:Sfn.

Орбита, порождаемая точкой $z\in {ℂ}^n$, — точечное множество в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ вида

$\{t^{{\alpha }_1}{z}_1,t^{{\alpha }_2}{z}_2,\dots ,t^{{\alpha }_n}{z}_n\},$ $|t|=1,$

где $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n$ — любая фиксированная точка; $t\in ℂ$ — любой комплексный параметр; ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точекШаблон:Sfn.

Кругообразная область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, целиком состоящая из некоторых орбитШаблон:Sfn.

В частном случае при ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=1$ получается круговая область, а при ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_{n-1}=0$, ${\alpha }_n=1$ — область ХартогсаШаблон:Sfn.

В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множествомШаблон:Sfn.

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ была впервые изучена французским математиком А. КартаномШаблон:Sfn.

Завершение кругообразной области

Завершение кругообразной области — полученная из исходной кругообразной области $D$ минимальная полная кругообразная область $\tilde{D}$, другими словами, это множество дисков

$(t^{{\alpha }_1}{z}_1,t^{{\alpha }_2}{z}_2,\dots ,t^{{\alpha }_n}{z}_n),$ $0<|t|⩽1,$

которые соответствуют орбитам, которые составляют исходную кругообразную области $D$Шаблон:Sfn.

Синоним: геометрическое завершение кругообразной областиШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь В произвольной области комплексной плоскости $ℂ$ всегда существует некоторая аналитическая функция. Но, с другой стороны, пространство переменных

$z,u_1,u_2,\dots ,u_n\in ℂ\times \underset{\text{n раз}}{\underbrace{ℝ\times ℝ\times \cdots \times ℝ}},n⩾1$

содержит такие пары областей $D$, $\tilde{D}$, $D\subset \tilde{D}$, что любая функция, аналитическая в $D$, остается аналитической и в $\tilde{D}$. Этот факт, который имеет место при аналитическом продолжении, относится только к природе комплексной области $D$, а не к любой аналитической функции, которая определенна в $D$. Этот факт называется аналитическим расширением (Шаблон:Lang-en), а область $\tilde{D}$ называется аналитическим расширением области $D$Шаблон:Sfn.

Теорема. Завершение $\tilde{D}$ кругообразной области $D$ есть тоже область пространства. Область $\tilde{D}$ есть аналитическое расширение области $D$ в том случае, когда начало координат $z_1=z_2=\cdots =z_n=0$ принадлежит области $D$Шаблон:Sfn.

Кратно-кругообразная область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной областиШаблон:Sfn.

Введём следующие $m$ параметров $t_1,t_2,\dots ,t_m$ и организуем их в следующие $n$ одночленов

${\beta }_j(t)=t_1^{{\alpha }_{j1}}{t}_2^{{\alpha }_{j2}}\dots t_m^{{\alpha }_{jm}},j=1,2,\dots ,n,$

где показатели степени ${\alpha }_{j1},{\alpha }_{j2},\dots ,{\alpha }_{jm}$ — неотрицательные целые числаШаблон:Sfn.

Пусть определение орбиты следующее:

$\{{\beta }_1(t)z_1,{\beta }_2(t)z_2,\dots ,{\beta }_n(t)z_n\},$ $|t_1|=|t_2|=\cdots =|t_m|=1,$

а определение диска соответственно такоеШаблон:Sfn:

$({\beta }_1(t)z_1,{\beta }_2(t)z_2,\dots ,{\beta }_1(n)z_n),$ $0<|t_1|,|t_2|,\dots ,|t_m|⩽1.$

Кратно-кругообразная область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, целиком состоящая из некоторых этих орбитШаблон:Sfn.

Теорема для кругообразной области остается истинной и для кратно-кругообразной области:

Теорема. Завершение $\tilde{D}$ кратно-кругообразной области $D$ есть тоже область пространства. Область $\tilde{D}$ есть аналитическое расширение области $D$ в том случае, когда начало координат $z_1=z_2=\cdots =z_n=0$ принадлежит области $D$Шаблон:Sfn.

При $m=n$ и ${\beta }_j(t)=t_j$ получается наиболее важный вид кратно-кругообразной области, а именно область Рейнхарта. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта $D$, её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта $\tilde{D}$. Так полученная область $\tilde{D}$ называется рейнхартовым аналитическим расширением областиШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H