Параллельные плоскости

Согласно классическому определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем.

Аналитическое определение параллельных плоскостей:

если плоскости $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ параллельны, то нормальные векторы $N_1(A_1,B_1,C_1)$ и $N_2(A_2,B_2,C_2)$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}=\frac{C_2}{C_1}$ есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Примеры

• Плоскости $2x-3y-4z+11=0$ и $-4x+6y+8z+36=0$ параллельны, так как $\frac{-4}{2}=\frac{6}{-3}=\frac{8}{-4}$.
• Плоскости $2x-3z-12=0(A_1=2,B_1=0,C_1=-3)$ и $4x+4y-6z+7=0(A_2=4,B_2=4,C_2=-6)$ непараллельны, так как $B_1=0$, а $B_2\ne 0$.

Замечание

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если $\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}=\frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1},$ то плоскости совпадают. Так уравнения $3x+7y+5z+4=0$ и $6x+14y+10z+8=0$ представляют одну и ту же плоскость.