Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости (Шаблон:Lang-en), — это отображение комплексной плоскости на себяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ℂ\to ℂ:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, $ad-bc\ne 0$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразованийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразованиеШаблон:Sfn;
• дробно-линейная функция одной комплексной переменнойШаблон:Sfn;
• рациональная функция первого порядкаШаблон:Sfn;
• одномерное комплексное преобразование МёбиусаШаблон:Sfn.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменногоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером ПенроузомШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ℂ\to ℂ:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, или коэффициенты, $ad-bc\ne 0$.

Дробно-линейное преобразование $L(z)$ представляет дробь, числитель и знаменатель которой

$az+b$ и $cz+d$

суть целые линейные функцииШаблон:Sfn:

При $ad-bc=0$ дробь из $L(z)$ становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть $L(z)$ перестаёт быть дробно-линейным преобразованиемШаблон:Sfn.

При $c=0$ и $d\ne 0$ дробно-линейная функция $L(z)$ становится следующей целой линейной функциейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ℂ\to ℂ:z\to w=l(z)=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}$.

Доопределение на расширенной комплексной плоскости

Компактифицируем комплексную плоскость $ℂ$. Для этого добавим к множеству конечных точек $z\ne \mathrm{\infty }$ этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку $z=\mathrm{\infty }$ — некоторый абстрактный идеальный элементШаблон:Sfn.

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой $\mathrm{\infty }$, комплексная плоскость $ℂ$. В связи с этим исходная комплексная плоскость $ℂ$ иногда называется конечной, или открытой, плоскостьюШаблон:Sfn.

Дробно-линейная функция

$ℂ\to ℂ:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}$, кроме следующихШаблон:Sfn:

• при $c\ne 0$ — кроме точек $z=-\frac{d}{c}$ и $z=\mathrm{\infty }$;
• при $c=0$ — кроме точки $z=\mathrm{\infty }$.

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскостиШаблон:Sfn:

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$.

Легко получить, чтоШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• при $c=0$ и $d\ne 0$ ввиду

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{a}{d}z+\frac{b}{d})=\mathrm{\infty }$

доопределяем с сохранением непрерывности функции

$w(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$;

• при $c\ne 0$ два выражения

$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}$, $\underset{z\to -\frac{d}{c}}{\lim }\frac{az+b}{cz+d}=\mathrm{\infty }$

говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции

$w(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c}$, $w(-\frac{d}{c})=\mathrm{\infty }$.

Синонимы дробно-линейного преобразования

В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования:

• как противопоставление целому линейному преобразованию:

• лине́йное преобразова́ние комплексной плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскостиШаблон:Sfn;
• билине́йное преобразова́ние комплексной плоскостиШаблон:Sfn;
• лине́йная фу́нкция на комплексной плоскостиШаблон:Sfn;
• о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскостиШаблон:Sfn;

• как проективное преобразование:

• гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскостиШаблон:SfnШаблон:Sfn;

• отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции;

• дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;

• преобразование осуществляется с помощью его функции:

• дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• рациона́льная фу́нкция первого порядкаШаблон:SfnШаблон:Sfn;

• преобразование, сохраняющее окружности:

• то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскостиШаблон:Sfn;
• преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскостиШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскостиШаблон:Sfn;

• в теории относительности:

• спи́новое преобразова́ниеШаблон:Sfn.

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования

Детерминант дробно-линейного преобразования

Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме

$w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, —

это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразованияШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ad-bc$.

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной $z$ при условии $c\ne 0$Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

$w=L(z)=\frac{\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}}{z+\frac{d}{c}}=\frac{\frac{a}{c}(z+\frac{d}{c})+(\frac{b}{c}-\frac{ad}{c^2})}{z+\frac{d}{c}}=$

$=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2(z+\frac{d}{c})}$, $c\ne 0$.

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте $ad-bc=0$ дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную $\frac{a}{c}$, то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку $\frac{a}{c}$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Не умаляя общности, можно разделить постоянные $a$, $b$,$c$ и $d$ обычной записи дробно-линейного преобразования либо на $\sqrt{ad-bc}$, либо на $-\sqrt{ad-bc}$ — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единицеШаблон:Sfn:

$ad-bc=1$.

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единицеШаблон:Sfn:

$ad-bc=1$.

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкойШаблон:Sfn.

Биективность, гомеоморфность и конформность

1. Биективность. Дробно-линейное преобразование

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$.

определено однозначно на всей расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}$Шаблон:Sfn.

Выразим $z$ через $w$ ($c\ne 0$, случай $c=0$ достаточно очевиден):

$z=\frac{dw-b}{-cw+a}=\frac{-dw+b}{cw-a}$,

получаем, что любому значению $w$, $w\ne \frac{a}{c}$ и $w\ne \mathrm{\infty }$, отвечает одно определённое значение $z$, а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам $w=\frac{a}{c}$ и $w=\mathrm{\infty }$ отвечают точки $z=\mathrm{\infty }$ и $z=-\frac{d}{c}$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначноШаблон:SfnШаблон:Sfn.

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости $\widehat{ℂ}$. Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на $\widehat{ℂ}$Шаблон:Sfn.

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразованияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L^{\prime }(z)=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{ad-bc}{(cz+d{)}^2}$.

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при $ad-bc\ne 0$, $z\ne -\frac{d}{c}$ и $z\ne \mathrm{\infty }$. Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости $z=-\frac{d}{c}$ — простой полюс, а точка $z=\mathrm{\infty }$ — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках $z=-\frac{d}{c}$ и $z=\mathrm{\infty }$ отличны от нуля: $\frac{bc-ad}{c^2}\ne 0$ и $\frac{ad-bc}{c^2}\ne 0$ соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках $z=-\frac{d}{c}$ и $z=\mathrm{\infty }$ и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости $\widehat{ℂ}$Шаблон:Sfn.

Равенство представлений дробно-линейных преобразований

Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}$

$L_1(z)=\frac{a_{1}z+b_1}{c_{1}z+d_1}$ и $L_2(z)=\frac{a_{2}z+b_2}{c_{2}z+d_2}$

называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть $L_1(z)=L_2(z)$ при всех значениях комплексной переменной $z$Шаблон:Sfn.

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• две формы дробно-линейных преобразования

$L_1(z)=\frac{a_{1}z+b_1}{c_{1}z+d_1}$ и $L_2(z)=\frac{a_{2}z+b_2}{c_{2}z+d_2}$

равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть

$a_2=\lambda a_1$, $b_2=\lambda b_1$, $c_2=\lambda c_1$, $d_2=\lambda d_1$, $\lambda \ne 0$.

Последнее утверждение имеет следующее следствиеШаблон:Sfn:

• значение детерминанта $ad-bc$ дробно-линейного преобразования $L(z)$ не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные $a$, $b$, $c$ и $d$ заменить на постоянные $\lambda a$, $\lambda b$, $\lambda c$ и $\lambda d$ при $\lambda \ne 0$, то детерминант увеличится в ${\lambda }^2$ раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминантаШаблон:Sfn.

Таким образом, дробно-линейное преобразование

$L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметровШаблон:Sfn.

Неподвижные точки

В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}$

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

его образ $w$, как правило, отличен от исходной точки $z$ комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования $L(z)$Шаблон:Sfn.

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнениюШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$z=\frac{az+b}{cz+d}$,

$z(cz+d)=az+b$,

$c{z}^2+(d-a)z-b=0$.

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования $z=z$). В случае, когда при $c=0$ второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» $\mathrm{\infty }$. В частностиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• имеется хотя бы одна неподвижная точка $z=0$ тогда и только тогда, когда $b=0$, поскольку $0=L(0)=\frac{b}{d}$;
• имеется хотя бы одна неподвижная точка $z=\mathrm{\infty }$ тогда и только тогда, когда $c=0$, поскольку $\mathrm{\infty }=L(\mathrm{\infty })=\frac{a\mathrm{\infty }+b}{c\mathrm{\infty }+d}$.

Неподвижные точки целого линейного преобразования

Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное:

• целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точкуШаблон:Sfn.

Дробно-линейная функция $L(z)$ — целая линейная, если её постоянные $c=0$ и $d\ne 0$Шаблон:Sfn:

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=l(z)=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}$.

В любом случае, поскольку всегда $l(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$, у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка ${\xi }_1=\mathrm{\infty }$ расширенной комплексной плоскости $\widehat{ℂ}$Шаблон:Sfn.

1. Случай $a\ne d$. Точка

${\xi }_2=\frac{\frac{b}{d}}{1-\frac{a}{d}}=\frac{b}{d-a}$ —

конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования

$w=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}$,

задаваемая этим уравнениемШаблон:Sfn.

2. Случай $a=d$. Если $\frac{a}{d}=1$ и $\frac{b}{d}\ne 0$, то у целого линейного преобразования

$w=z+\frac{b}{d}$

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при $\frac{a}{d}\ne 1$, $\frac{b}{d}\ne 0$ и $\frac{a}{d}\to 1$ конечная неподвижная точка

${\xi }_1=\frac{\frac{b}{d}}{1-\frac{a}{d}}=\frac{b}{d-a}$

стремится к бесконечно удалённойШаблон:Sfn.

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования

Дробно-линейная функция $L(z)$ считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная $c\ne 0$. У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными:

$z=\mathrm{\infty }$ и $z=-\frac{d}{c}$,

так как

$L(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c}\ne \mathrm{\infty }$ и $L(-\frac{d}{c})=\mathrm{\infty }\ne -\frac{d}{c}$

соответственноШаблон:Sfn.

Теперь, решая в общем случае уравнение

$z=\frac{az+b}{cz+d}$, то есть $c{z}^2+(d-a)z-b=0$,

при

$z\ne \mathrm{\infty }$ и $z\ne -\frac{d}{c}$,

получимШаблон:Sfn:

${\xi }_1,{\xi }_2=\frac{a-d\pm \sqrt{(a-d{)}^2+4bc}}{2c}=$

$=\frac{a-d\pm \sqrt{(a+d{)}^2-4(ad-bc)}}{2c}$.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеемШаблон:Sfn:

${\xi }_1,{\xi }_2=\frac{a-d\pm \sqrt{(a+d{)}^2-4}}{2c}$.

Имеем два случая.

• Дискриминант не равен нулю:

$(a-d{)}^2+4bc\ne 0$,

в унимодулярном случаеШаблон:Sfn:

$(a+d{)}^2-4\ne 0$.

Тогда существуют две различные конечные неподвижные точкиШаблон:Sfn.

• Дискриминант равен нулю:

$(a-d{)}^2+4bc=0$,

в унимодулярном случаеШаблон:Sfn:

$(a+d{)}^2-4=0$, то есть $a+d=\pm 2$.

Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка

${\xi }_1=\frac{a-d}{2c}$,

которая равна нулю тогда и только тогда, когда $a=d$, $c\ne 0$Шаблон:Sfn.

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование $U(z)=z$ имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости $z_1$, $z_2$ и $z_3$ вместе с их образами $w_1$, $w_2$ и $w_3$, причём такое преобразование единственноеШаблон:Sfn.

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметровШаблон:Sfn.

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам

Построение преобразования по трём конкретным точкам

Построим дробно-линейное преобразование $\mathrm{\Lambda }(z)$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам $z_1$, $z_2$ и $z_3$, на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значенияШаблон:Sfn:

$0=\mathrm{\Lambda }(z_1)$, $\mathrm{\infty }=\mathrm{\Lambda }(z_2)$, $1=\mathrm{\Lambda }(z_3)$.

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• дробно-линейное преобразование $\mathrm{\Lambda }(z)$, отображающее произвольные конечные комплексные точки $z_1$, $z_2$ и $z_3$ в конкретные точки $0$, $\mathrm{\infty }$ и $1$ соответственно, задаётся следующей функциейШаблон:Sfn:

$\mathrm{\Lambda }(z)=\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}$.

Построение преобразования по любым трём точкам

1. Сначала построим дробно-линейное преобразование $L(z)$, единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам $z_1$, $z_2$ и $z_3$, на которых преобразование имеет следующие конечные значенияШаблон:Sfn:

$w_1=L(z_1)$, $w_2=L(z_2)$, $w_3=L(z_3)$.

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• дробно-линейное преобразование $w=L(z)$, отображающее произвольные конечные комплексные точки $z_1$, $z_2$ и $z_3$ в произвольные конечные точки $w_1$, $w_2$ и $w_3$ соответственно, задаётся следующей неявной функциейШаблон:Sfn:

$\frac{w-w_1}{w-w_2}\frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}=\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}$.

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек $z_k$ и $w_l$, $k,l=1,2,3$, конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом:

• в случае, если какая-то $z_{k_0}=\mathrm{\infty }$ (только одна, так как $\mathrm{\infty }$ одна на плоскости для z) или какая-то $w_{l_0}=\mathrm{\infty }$ (только одна, так как $\mathrm{\infty }$ одна на плоскости для w) или они обе вместе $z_{k_0}=w_{l_0}=\mathrm{\infty }$, то тогда в уравнении

$\frac{w-w_1}{w-w_2}\frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}=\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}$

разности с бесконечными $z_{k_0}$ и $w_{l_0}$ заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваютсяШаблон:Sfn.

Поскольку каждая из шести точек $z_k$ и $w_l$ входит в последнее уравнение дважды. один раз в числителе уравнения, а второй раз в его знаменателе, причём с одним и тем же знакомШаблон:Sfn, то это правило легко проверяется с использованием предельного перехода к бесконечности. Например, если точка $z_1=\mathrm{\infty }$, то тогда, временно считая $z_1$ конечной, заменим $z-z_1$ на

$\frac{z}{z_1}-1$

и затем осуществим переход к пределу при $z_1\to \mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn.

Двойное отношение четырёх точек

Двойное, или ангармоническое, отношением четырёх чисел или точек — это числовая величина, равная отношению

$(z_1,z_2,z_3,z_4)=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}$,

где $z_1,z_2,z_3,z_4$ суть четыре произвольных различных конечных комплексных числаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Если обозначить двойное отношение четвёрки чисел через $\lambda$, то при любой из 24 перестановок четвёрки чисел, входящих в это двойное отношение, получаем одну из следующих шести числовых величинШаблон:Sfn:

$\lambda ,\frac{1}{\lambda },1-\lambda ,\frac{1}{1-\lambda },\frac{\lambda -1}{\lambda },\frac{\lambda }{\lambda -1}$.

Распространим это определение на случай бесконечной точки.

Двойное отношением четырёх точек, одна из которых бесконечно удалённая, — это предел двойного отношения четырёх конечных точек, когда соответствующая точка стремится к бесконечностиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В соответствии с последним определением получаем разные виды двойного отношения четырёх точекШаблон:Sfn:

$(\mathrm{\infty },z_2,z_3,z_4)=\frac{z_4-z_2}{z_3-z_2}$,

$(z_1,\mathrm{\infty },z_3,z_4)=\frac{z_3-z_1}{z_4-z_1}$,

$(z_1,z_2,\mathrm{\infty },z_4)=\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}$,

$(z_1,z_2,z_3,\mathrm{\infty })=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$.

Имеет место следующее утверждение, называемое инвариантностью двойного отношенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• двойное отношением четырёх точек есть инвариант дробно-линейного преобразования

$w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

то есть двойное отношением четырёх точек остаётся неизменным при действии дробно-линейного преобразования.

Нормальная форма дробно-линейного преобразования

Общий случай двух различных конечных неподвижных точек

Итак, если не учитывать тождественное преобразование $z=z$, то дробно-линейного преобразования разделены на два классаШаблон:Sfn:

• имеющие две неподвижные точки ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$;
• имеющие одну неподвижную точку ${\xi }_1$.

Для общего случая дробно-линейного преобразования имеет место следующее утверждениеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• дробно-линейное преобразование

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

в общем случае имеющее при условиях $c\ne 0$ и $(a-d{)}^2+4bc\ne 0$ две различные конечные неподвижные точки

${\xi }_1,{\xi }_2=\frac{a-d\pm \sqrt{(a-d{)}^2+4bc}}{2c}=$

$=\frac{a-d\pm \sqrt{(a+d{)}^2-4(ad-bc)}}{2c}$,

можно представить в неявной форме как

$\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$, где $K=\frac{a-c{\xi }_1}{a-c{\xi }_2}\ne 0;1$.

Определение нормальной формы и множителя

Неявная форма

$\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K_1\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$

называется нормальной формой, или каноническим видом, дробно-линейное преобразование с двумя различными конечными неподвижными точками, а постоянная $K$ называется множителем дробно-линейного преобразованияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Неявная форма представления дробно-линейного преобразования через множитель

$\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$

обладает следующим преимуществом по сравнению с обычным явным представлением

$w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$:

любую степень дробно-линейного преобразования $L^n$ в неявной форме имеет простой вид. Степень преобразования в явном виде очень сложно выражается через постоянные $a$, $b$, $c$ и $d$. Наоборот, действие преобразования самого на себя в неявной форме имеет простой вид, напримерШаблон:Sfn:

$L^2:(v=Ky{)}^2$,

$L^2:v=K(Ky)=K^{2}y$,

$L^2:\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K^2\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$.

АналогичноШаблон:Sfn

$L^n:\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K^n\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$;

$L^{-1}:\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K^{-1}\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$;

$(L^{-1}{)}^n:\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K^{-n}\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$.

Забегая вперёд, можно сказать, что в частных случаях дробно-линейного преобразования неявная форма степени также имеет простой видШаблон:Sfn:

• случай одной конечной и одной бесконечной неподвижных точек:

$L^n:w-{\xi }_1=K^n(z-{\xi }_1)$;;

$(L^{-1}{)}^n:w-{\xi }_1=K^{-n}(z-{\xi }_1)$;;

• случай совпадающих конечных неподвижных точек:

$L^n:\frac{1}{w-{\xi }_1}=\frac{1}{z-{\xi }_1}+nh$;

$(L^{-1}{)}^n:\frac{1}{w-{\xi }_1}=\frac{1}{z-{\xi }_1}-nh$;

• случай совпадающих бесконечных неподвижных точек:

$L^n:w=z+nh$;

$(L^{-1}{)}^n:w=z-nh$.

Выражения множителя через постоянные преобразования

Имеет место следующее утверждение:

• множитель $K$, независимо от выбора третьей точки при их вычислении, выражаются двумя способами через постоянные дробно-линейного преобразования:

• через симметричную функцию ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$, также не зависящую от порядка этих неподвижных точекШаблон:Sfn:

$K+\frac{1}{K}=\frac{(a+d{)}^2}{ad-bc}-2$,

в унимодулярном случае:

$K+\frac{1}{K}=(a+d{)}^2-2$,

или

$\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K}}=a+d$;

• непосредственноШаблон:Sfn:

$K=\frac{a+d-\sqrt{(a+d{)}^2-4(ad-bc)}}{a+d+\sqrt{(a+d{)}^2-4(ad-bc)}}$,

в унимодулярном случаеШаблон:Sfn:

$K=\frac{a+d-\sqrt{(a+d{)}^2-4}}{a+d+\sqrt{(a+d{)}^2-4}}$.

В любом случае при унимодулярном дробно-линейном преобразовании множитель $K$ зависят только от суммы двух постоянных преобразования $a+d$Шаблон:Sfn.

Классификация дробно-линейных преобразований

Две различные неподвижные точки, одна бесконечная

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• целое линейное преобразование

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{d}$,

имеющее при условиях $c=0$ и $a\ne d$ и унимодулярной нормировке $ad=1$ две различные неподвижные точки

${\xi }_1=\frac{b}{d-a}$ и ${\xi }_2=\mathrm{\infty }$,

можно представить в неявной нормальной форме как

$w-{\xi }_1=K(z-{\xi }_1)$,

где $K=\frac{a}{d}\ne 1$ — постоянная, причём также $K\ne 0$, поскольку дробно-линейное преобразование не вырождается в постоянную,

$K+\frac{1}{K}=\frac{a}{d}+\frac{d}{a}=\frac{a^2+d^2}{ad}=$.

$=\frac{(a+d{)}^2-2ad}{ad}=\frac{(a+d{)}^2}{ad}-2$,

в унимодулярном случае, как и для двух различных конечных неподвижных точек,

$K+\frac{1}{K}=(a+d{)}^2-2$.

Совпадающие неподвижные точки

Рассмотрим дробно-линейное преобразование с одной двойной неподвижной точкой, которую будем обозначать ${\xi }_1$. В этом случае не существует нормальной формы с множителем дробно-линейного преобразования, так как она превращается в тождествоШаблон:Sfn.

Имеет место следующее утверждениеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• дробно-линейное преобразование

$\widehat{ℂ}\to \widehat{ℂ}:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

имеющее при условиях $(a-d{)}^2+4bc=0$, в случае унимодулярности $a+d=\pm 2$, и $c\ne 0$ двойную конечную неподвижную точку

${\xi }_1=\frac{a-d}{2c}$,

можно представить в неявной нормальной форме как

$\frac{1}{w-{\xi }_1}=\frac{1}{z-{\xi }_1}+h$,

где $h=\frac{2c}{a+d}\ne 0$ — постоянная, в случае унимодулярности $h=\pm c$, причём при $a+d=2$ постоянная $h=c$, а при $a+d=-2$ постоянная $h=-c$.

При $c=0$ и $a=d$, в случае унимодулярности $a=d=\pm 1$, имеем двойную бесконечно удалённую неподвижную точку ${\xi }_1=\mathrm{\infty }$ и явную нормальную форму, совпадающую с самим преобразованием $L$ в обычном виде:

$w=z+\frac{b}{d}=w=z+h$,

в случае унимодулярности

$w=z\pm b$.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

Классификация дробно-линейных преобразований строитсяШаблон:Sfn:

• на количестве неподвижных точек;
• на форме записи функции дробно-линейного преобразования по его неподвижным точкам.

Для классификации дробно-линейных преобразований привлечём показательную, или тригонометрическую, формуШаблон:Sfn комплексного числа. Пусть

$K=r{e}^{i\phi }$,

где вещественное число $r=|K|⩾0$ — модуль, или абсолютная величина комплексного числа $K$, а вещественное число $-\pi <\phi =\arg K⩽\pi$ — главное значение аргумента комплексного числа $K$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Тогда можно определить следующие четыре типа дробно-линейных преобразованийШаблон:Sfn:

• случай различных неподвижных точек:

• $K=r$, $r>0$, $r\ne 1$, — гиперболическое дробно-линейное преобразование, подобное преобразование с центром в начале координат;
• $K=e^{i\phi }$, $e^{i\phi }\ne 1$, — эллиптическое дробно-линейное преобразование, вращение около начала координат;
• $K=r{e}^{i\phi }$, $r>0$, $r\ne 1$, $e^{i\phi }\ne 1$, — локсодромическое дробно-линейное преобразование, композиция гиперболического и эллиптического преобразований;

• случай одной неподвижной точки:

• $K=1$ — параболическое дробно-линейное преобразование, это перенос.

Для классификации дробно-линейных преобразований также привлечём два семейства окружностей при двух различных неподвижных точкахШаблон:Sfn:

• семейство всех окружностей $\mathrm{\Sigma }$, проходящих через обе неподвижные точки ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$Шаблон:Sfn;
• семейство всех окружностей ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$, ортогональных к окружностям первого семейства $\mathrm{\Sigma }$Шаблон:Sfn.

При единственной неподвижной точке окружности семейства $\mathrm{\Sigma }$ превращаются во все окружности, имеющие в неподвижной точке ${\xi }_1$ общую касательную, а семейство окружностей ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ исчезаетШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Соберём в следующей таблице простейшие сведения о четырёх типах дробно-линейных преобразованийШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Четыре типа дробно-линейных преобразований

	Гиперболическое	Эллиптическое	Локсодромическое	Параболическое
Нормальная форма общего случая $w=\frac{az+b}{cz+d}$
Бесконечной неподвижной точки нетШаблон:Sfn	$\frac{w-{\xi }_1}{w-{\xi }_2}=K\frac{z-{\xi }_1}{z-{\xi }_2}$			$\frac{1}{w-{\xi }_1}=\frac{1}{z-{\xi }_1}+h$
Бесконечная неподвижная точка естьШаблон:Sfn	$w-{\xi }_1=K(z-{\xi }_1)$			$w=z+h$
Ограничения на $K$ и $h$Шаблон:Sfn	$K\ne 1,$ $K>0$	$K\ne 1,$ $|K|=1$	$|K|\ne 1,$ $\mathrm{Im}K\ne 0$ или $K<0$	$h\ne 0$
Показательная форма $K$Шаблон:Sfn	$K=r,$ $r>0,$ $r\ne 1$	$K=e^{i\phi },$ $e^{i\phi }\ne 1$	$K=r{e}^{i\phi },$ $r>0,$ $r\ne 1,$ $e^{i\phi }\ne 1$	$K=1$
Унимодулярный случай $w=\frac{az+b}{cz+d},$ $ad-bc=1$
Сумма постоянных $a+d$Шаблон:SfnШаблон:Sfn	$a+d$ вещественное и $|a+d|>2$	$a+d$ вещественное и $|a+d|<2$	$a+d$ комплексное невещественное	$a+d=\pm 2$
Геометрические свойства
Неподвижные кругиШаблон:SfnШаблон:Sfn	Окружности семейства $\mathrm{\Sigma }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Окружности семейства ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ и их внутренности отображаются сами в себя	Нет неподвижных кругов	Отображаются сами в себя окружности семейства $\mathrm{\Sigma }$ и их внутренности
Неподвижные семейства кругов, сами круги не неподвижныШаблон:Sfn	Окружности ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ и их внутренности отображаются в окружности ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов	Окружности ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ и их внутренности отображаются в окружности ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ и их внутренности	Нет таких неподвижных семейств кругов
Неподвижные окружности, внутренности которых отображаются вовнеШаблон:Sfn	Нет таких неподвижных окружностей	При $\varphi =\pi$ окружности семейства $\mathrm{\Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	При $\varphi =\pi$ окружности семейства $\mathrm{\Sigma }$ отображаются сами в себя, их внутренности — вовне	Нет таких неподвижных окружностей
Геометрическое преобразование комплексной плоскостиШаблон:Sfn	Подобие	Поворот	Комбинация подобия и поворота	Параллельный перенос

При дробно-линейном преобразовании через каждую точку расширенной комплексной плоскости (кроме неподвижных) проходит одна и только одна окружность неподвижного круга только в случае трёх типов преобразования из четырёхШаблон:Sfn:

• гиперболического,
• эллиптического,
• параболического.

Причём, если $\mathrm{\infty }$ не является неподвижной точкой, то есть $c\ne 0$, тогда в каждом из этих трёх случаев существует одна и только одна окружность неподвижного круга, которая проходит через $\mathrm{\infty }$, то есть одна неподвижная полуплоскость с границей-прямой, проходящей через $\mathrm{\infty }$. Эта прямая проходит также через две конечные точкиШаблон:Sfn:

$w(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c}$, $w(-\frac{d}{c})=\mathrm{\infty }$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H