Дробно-линейное преобразование

Шаблон:Эта статья Дро́бно-лине́йное преобразова́ние (Шаблон:Lang-en), или дробно-линейное отображе́ние, — это отображение произвольного комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциямиШаблон:Sfn.

Это одно из обобщений дробно-линейного преобразование комплексной плоскостиШаблон:Sfn.

Формальное определение

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства любой размерности ${ℂ}^n,$ $n⩾1,$ на себя

${ℂ}^n\to {ℂ}^n:z\to w,$ $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n),$

$w=(w_1,w_2,\dots ,w_n)=(L_1(z),L_2(z),\dots ,L_n(z)),$

осуществляемое $n$ дробно-линейными функциями

$L_k(z)=\frac{a_{1k}{z}_1+a_{2k}{z}_2+\cdots +a_{nk}{z}_n+b_k}{c_{1k}{z}_1+c_{2k}{z}_2+\cdots +c_{nk}{z}_n+d_k},$ $k=1,2,\dots ,n,$

где $z_1,z_2,\dots ,z_n$ — комплексные переменные, $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$ $c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$ $b_k,d_k$ — комплексные коэффициенты,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_k|>0$Шаблон:Sfn.

Продолжения в компактификацию

Наибольший интерес представляют те преобразования из множества всех дробно-линейных преобразований, которые можно продолжить в какую-нибудь из компактификаций комплексного пространства ${ℂ}^n$, то есть пополнение и замыкание его бесконечными элементамиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обычное замыкание

При самом простом способе компактификации комплексного пространства ${ℂ}^n$ получается пространство теории функций $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{ℂ}}$Шаблон:Sfn.

В это пространство теории функций $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{ℂ}}$ продолжаются дробно-линейные преобразования двух видовШаблон:Sfn:

• все переставляющие координаты линейные преобразования;
• дробно-линейные преобразования следующего вида:

$z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\to w=(L_1(z_1),L_2(z_2),\dots ,L_n(z_n)),$

где

$L_k(z_k)=\frac{a_k{z}_k+b_k}{c_k{z}_k+d_k},$ $k=1,2,\dots ,n,$

на комплексной плоскости $z_k$.

Группа дробно-линейных преобразований, которая порождается этими двумя видами преобразований, совпадает с группой $\mathrm{Aut}\stackrel{n}{\stackrel{‾}{ℂ}}$ всех биголоморфных автоморфизмов пространства теории функций $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{ℂ}}$Шаблон:Sfn.

В частности, у группы $\mathrm{Aut}\stackrel{n}{\stackrel{‾}{ℂ}}$ имеется подгруппа $\mathrm{Aut}{U}^n$ преобразований

$L_k(z_k)=e^{i{\theta }_k}\frac{z_k-{\alpha }_k}{1-\overline{{\alpha }_k}{z}_k},$ $|{\alpha }_k|<1,$ $\mathrm{Im}{\theta }_k=0,$

которая исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга

$U^n=\{z\in {ℂ}^n;|z_j|<1,j=1,2,\dots ,n\}$Шаблон:Sfn.

Проективное замыкание

При проективном замыкании комплексного пространства ${ℂ}^n$ получается комплексное проективное пространство $ℂP^n$Шаблон:Sfn.

В это комплексное проективное пространство $ℂP^n$ продолжаются дробно-линейные преобразования следующего видаШаблон:Sfn:

$L_k(z_k)=\frac{a_{1k}{z}_1+a_{2k}{z}_2+\dots +a_{nk}{z}_n+b_k}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\dots +c_n{z}_n+d}=\frac{l_k(z)}{l(z)}$.

Указанное продолжение в однородных координатах имеет следующий видШаблон:Sfn:

$(z_0,z_1,\dots ,z_n)\to (z_{0}l\left(\frac{z}{z_0}\right),z_1{l}_1\left(\frac{z}{z_0}\right),\dots ,z_n{l}_n\left(\frac{z}{z_0}\right))$.

Представленными дробно-линейными преобразованиями исчерпывается группа $\mathrm{Aut}ℂP^n$ всех биголоморфных автоморфизмов комплексного проективного пространства $ℂP^n$Шаблон:Sfn.

В частности, рассмотрим единичный шар

$B^n=\{z\in {ℂ}^n;|z|<1\}$

комплексного пространства ${ℂ}^n$. Все его автоморфизмы составляют подгруппу $\mathrm{Aut}{B}^n$ группы $\mathrm{Aut}ℂP^n$, состоящую из всех дробно-линейных преобразований

$L_k(z_k)=\frac{a_{1k}{z}_1+a_{2k}{z}_2+\dots +a_{nk}{z}_n+b_k}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+\dots +c_n{z}_n+d}=\frac{l_k(z)}{l(z)}$,

коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиямШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$a_{k1}{\overline{a}}_{l1}+a_{k2}{\overline{a}}_{l2}+\dots +a_{kn}{\overline{a}}_{ln}=c_k{\overline{c}}_l,$ $k\ne l,$

$|a_{k1}{|}^2+|a_{k2}{|}^2+\dots +|a_{kn}{|}^2-|c_k{|}^2=$

$=-(|b_1{|}^2+|b_2{|}^2+\dots +|b_n{|}^2)+|d{|}^2\ne 0,$

$k=1,2,\dots ,n.$

В этих условиях указанный шар $B^n$ переходит в себя, когда

$-(|b_1{|}^2+|b_2{|}^2+\dots +|b_n{|}^2)+|d{|}^2>0$,

и, следовательно, $d\ne 0$. Тогда можно считать, что $d=1$, поскольку числитель и знаменатель дробно-линейного преобразования можно поделить на одно и то же числоШаблон:Sfn.

Одномерное комплексное пространство

Шаблон:Основная статья Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$ℂ\to ℂ:z\to w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, $ad-bc\ne 0$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразованийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразованиеШаблон:Sfn;
• дробно-линейная функция одной комплексной переменнойШаблон:Sfn;
• рациональная функция первого порядкаШаблон:Sfn;
• одномерное комплексное преобразование МёбиусаШаблон:Sfn.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменногоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

По словам британского профессора Тристана Нидхема, обладая «обманчивой простотой», дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых «захватывающих» современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде «магическом» взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером ПенроузомШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Двумерное комплексное пространство

Шаблон:Обзорная статья Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве ${ℂ}^2$ дробно-линейное преобразование следующего видаШаблон:Sfn:

$w_1=\frac{a_{11}{z}_1+a_{21}{z}_2+b_1}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+d}$, $w_2=\frac{a_{12}{z}_1+a_{22}{z}_2+b_2}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+d}$,

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& b_1\\ a_{12}& a_{22}& b_2\\ c_1& c_2& d\end{array}\right|\ne 0$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство ${ℂ}^2=\{(z_1,z_2)\}$ в комплексное проективное пространство

$ℂP^2=\{({\zeta }_0:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\}$, ${\zeta }_0,{\zeta }_1,{\zeta }_2\in ℂ$,

$|{\zeta }_0|+|{\zeta }_1|+|{\zeta }_2|\ne 0$,

$({\zeta }_0:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\sim (\lambda {\zeta }_0:\lambda {\zeta }_1:\lambda {\zeta }_2)$, $\lambda \ne 0$Шаблон:Sfn.

Пусть теперь $z_1=\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}$, $z_2=\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}$ — некоторое вложение ${ℂ}^2\hookrightarrow ℂP^2$. Такое вложение отождествляет подмножество $(1:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\subset ℂP^2$ с множеством ${ℂ}^2$. В алгебраической терминологии это означает, что

$ℂP^2=({ℂ}^3\setminus \{0\})/\sim$

и, кроме того,

$ℂP^2={ℂ}^2\cup ℂP^1={ℂ}^2\cup {ℂ}^1\cup \{\mathrm{\infty }\}$Шаблон:Sfn.

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{a_{11}\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+a_{21}\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+b_1}{c_1\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+c_2\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+d}$, $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_0}=\frac{a_{12}\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+a_{22}\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+b_2}{c_1\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+c_2\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+d}$,

в матричной форме получим:

$\left(\begin{array}{c}{\omega }_0\\ {\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}d& c_1& c_2\\ b_1& a_{11}& a_{21}\\ b_2& a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_0\\ {\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу $PG{L}_3(ℂ)$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства $ℂP^2$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из $PG{L}_n$ определяется $(n+1)$ точкой. Индекс $n$ у группы $PGL$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньшеШаблон:Sfn.

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование ${ℂ}^2\setminus ℂ\to {ℂ}^2\setminus ℂ$. Возьмём преобразование

$w_1=\frac{2z_1}{z_2+i}$, $w_2=\frac{z_2-i}{z_2+i}$,

обратное ему будет

$z_1=-i\frac{w_1}{w_2-1}$, $z_2=-i\frac{w_2+1}{w_2-1}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

$|w_2|<1\iff \mathrm{Im}{z}_2>0$,

$|w_1{|}^2+|w_2{|}^2<1\iff \mathrm{Im}{z}_2>|z{|}^2$,

что означает, что построено следующее преобразованиеШаблон:Sfn:

${ℂ}^2\setminus \{z_2+i=0\}\leftrightarrow {ℂ}^2\setminus \{z_2-1=0\}$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H