Биголоморфное отображение

Биголоморфная отображение обобщает конформное отображение

Биголомо́рфное отображе́ние (Шаблон:Lang-en) ― в теории функций нескольких комплексных переменных, обобщение однолистного конформного отображения на случай нескольких комплексных переменныхШаблон:Sfn.

В математике для функций одной переменной имеются конформные отображения с хорошими свойствами. Но в случае двух переменных и более конформность отсутствует. Аналог конформного отображения здесь — биголоморфное отображениеШаблон:Sfn.

Имеют место следующие синонимы: голоморфный изоморфизм, голоморфизм, псевдоконформное отображениеШаблон:Sfn.

Определение

Биголоморфное отображение — отображение $f$ области, то есть открытого связного подмножества, $D\subset {ℂ}^n$, голоморфное в $D$, а также обладающее обратным отображением $g=f^{-1}$, которое также голоморфно в $G=f(D)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Области $D_1$ и $D_2$ биголоморфно эквивалентны, $D_1\sim D_2$, когда имеется биголоморфное отображение $D_1$ на $D_2$Шаблон:Sfn.

Предложение 1. Отображение биголоморфно, если оно голоморфно и взаимно однозначноШаблон:Sfn.

Это предложение иногда используют при определении биголоморфного отображенияШаблон:Sfn.

Биголоморфное отображение — голоморфное взаимно однозначное отображение области $D\subset {ℂ}^n$ на область $D^{\prime }\subset {ℂ}^n$. Любое биголоморфное отображение невырождено в $D$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Предложение 2. Отображение, обратное к биголоморфному отображению, всегда биголоморфноШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Отсюда следует, что биголоморфное отображение гомеоморфно глобально, а не только локальноШаблон:Sfn.

Голоморфный изоморфизм — синоним биголоморфного отображения $f:D\to G=f(D)$, при этом области $D$ и $G$ биголоморфно эквивалентныШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Голоморфный автоморфизм — голоморфный изоморфизм области $D$ на себяШаблон:Sfn.

Биголоморфность не совпадает с конформностью уже при $n>1$. Так, в двумерном комплексном пространстве ${ℂ}^2$ отображение

$(z_1,z_2)\to (z_1,2z_2)$

биголоморфно, но не конформно. С другой стороны, на комплексной плоскости $ℂ$ отображение

$z\to \frac{z}{|z{|}^2}$

конформно, но ни голоморфно, ни антиголоморфноШаблон:Sfn.

Группы голоморфных автоморфизмов

Рассмотрим произвольное комплексное пространство ${ℂ}^n(z)$. Пусть $D$ — его любая область, то есть открытое связное подмножество. Множество голоморфных автоморфизмов $\phi :D\to D$ области $D$ составляют группу автоморфизмов $\mathrm{Aut}D$: групповая операция — композиция автоморфизмов ${\phi }_2\circ {\phi }_1$, единица группы — тождественное отображение $e:z\to z$, обратный элемент к $\phi$ – отображение $z={\phi }^{-1}(w)$, обратное к $w=\phi (z)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Богатство группы голоморфных автоморфизмов некоторой области влечёт богатство биголоморфных отображений на неё любой другой области. Это утверждение следует из следующей теоремыШаблон:Sfn.

Теорема 1. Произвольное фиксированное биголоморфное отображение (голоморфный изоморфизм) $f:D\to G=f(D)$ задаёт групповой изоморфизм $f_{*}:\mathrm{Aut}D\to \mathrm{Aut}G$ по следующей формулеШаблон:Sfn:

$f_{*}:\phi \to f\circ \phi \circ f^{-1},$ $\phi \in \mathrm{Aut}D.$

Эта теорема показывает, что условие изоморфности групп $\mathrm{Aut}D$ и $\mathrm{Aut}G$ голоморфных автоморфизмов необходимо для того, чтобы области $D$ и $G$ были биголоморфно эквивалентны. Но это условие недостаточно, о чём говорит пример различных плоских колец

$D=\{1<|z|<r_1\}$, $G=\{1<|z|<r_2\}$,

группы автоморфизмов которых изоморфны, но сами они конформно не эквивалентныШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Примеры голоморфных автоморфизмов

Рассмотрим вопрос о дробно-линейности голоморфных автоморфизмов. Для комплексной плоскости $ℂ(z)$ её произвольный голоморфный автоморфизм дробно-линеен, также как и голоморфный автоморфизм круга $\{|z|<R\}$ произвольного радиуса $R$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Кроме того, для комплексного пространства ${ℂ}^n(z)$, $n>1$, дробно-линейны голоморфные автоморфизмы ограниченных областей: шаров $\{|z|<R\}$ и поликругов $\{\Vert z\Vert <R\}$ произвольного радиуса $R$Шаблон:Sfn.

Но при $n>1$ расширение указанных областей на всё комплексное пространство ${ℂ}^n$ невозможно, поскольку не существует перехода к пределу при $R\to \mathrm{\infty }$ из-за того, что имеют место нелинейные голоморфные автоморфизмы, например, треугольное преобразование. При этом для компактифицированных (замкнутых) комплексных пространств $\overline{{ℂ}^n}$ и $ℂP^n$ голоморфные автоморфизмы опять суть дробно-линейные преобразованияШаблон:Sfn.

Треугольное преобразование

Рассмотрим двумерное комплексное пространство ${ℂ}^2(z_1,z_2)$Шаблон:Sfn.

Треугольное преобразование — преобразование вида

$f:(z_1,z_2)\to (z_1+f(z_2),z_2),$

где $f(z_2)$ — любая целая функция одного переменногоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Преобразование, обратное к этому треугольному преобразованию, также есть треугольное преобразованиеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$f:(w_1,w_2)\to (w_1-f(w_2),w_2).$

Эти преобразования голоморфны в ${ℂ}^2$, следовательно, указанное треугольное преобразование есть нелинейный голоморфный автоморфизм в ${ℂ}^2$Шаблон:Sfn.

Треугольные преобразования образуют группу. В отличие от одномерного случая — комплексной плоскости $ℂ$, группа биголоморфных преобразований Шаблон:S комплексного пространства ${ℂ}^n$ бесконечномерна, поскольку бесконечномерна её подгруппа треугольных преобразований (которых не меньше, чем целых функций, которых не меньше, чем многочленов произвольной степени)Шаблон:Sfn.

Дробно-линейное преобразование

Шаблон:Обзорная статья Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве ${ℂ}^2$ дробно-линейное преобразование следующего видаШаблон:Sfn:

$w_1=\frac{a_{11}{z}_1+a_{21}{z}_2+b_1}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+d}$, $w_2=\frac{a_{12}{z}_1+a_{22}{z}_2+b_2}{c_1{z}_1+c_2{z}_2+d}$,

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& b_1\\ a_{12}& a_{22}& b_2\\ c_1& c_2& d\end{array}\right|\ne 0$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство ${ℂ}^2=\{(z_1,z_2)\}$ в комплексное проективное пространство

$ℂP^2=\{({\zeta }_0:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\}$, ${\zeta }_0,{\zeta }_1,{\zeta }_2\in ℂ$,

$|{\zeta }_0|+|{\zeta }_1|+|{\zeta }_2|\ne 0$,

$({\zeta }_0:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\sim (\lambda {\zeta }_0:\lambda {\zeta }_1:\lambda {\zeta }_2)$, $\lambda \ne 0$Шаблон:Sfn.

Пусть теперь $z_1=\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}$, $z_2=\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}$ — некоторое вложение ${ℂ}^2\hookrightarrow ℂP^2$. Такое вложение отождествляет подмножество $(1:{\zeta }_1:{\zeta }_2)\subset ℂP^2$ с множеством ${ℂ}^2$. В алгебраической терминологии это означает, что

$ℂP^2=({ℂ}^3\setminus \{0\})/\sim$

и, кроме того,

$ℂP^2={ℂ}^2\cup ℂP^1={ℂ}^2\cup {ℂ}^1\cup \{\mathrm{\infty }\}$Шаблон:Sfn.

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{a_{11}\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+a_{21}\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+b_1}{c_1\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+c_2\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+d}$, $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_0}=\frac{a_{12}\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+a_{22}\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+b_2}{c_1\frac{{\zeta }_1}{{\zeta }_0}+c_2\frac{{\zeta }_2}{{\zeta }_0}+d}$,

в матричной форме получим:

$\left(\begin{array}{c}{\omega }_0\\ {\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}d& c_1& c_2\\ b_1& a_{11}& a_{21}\\ b_2& a_{12}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\zeta }_0\\ {\zeta }_1\\ {\zeta }_2\end{array}\right)$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу $PG{L}_3(ℂ)$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства $ℂP^2$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из $PG{L}_n$ определяется $(n+1)$ точкой. Индекс $n$ у группы $PGL$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньшеШаблон:Sfn.

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование ${ℂ}^2\setminus ℂ\to {ℂ}^2\setminus ℂ$. Возьмём преобразование

$w_1=\frac{2z_1}{z_2+i}$, $w_2=\frac{z_2-i}{z_2+i}$,

обратное ему будет

$z_1=-i\frac{w_1}{w_2-1}$, $z_2=-i\frac{w_2+1}{w_2-1}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

$|w_2|<1\iff \mathrm{Im}{z}_2>0$,

$|w_1{|}^2+|w_2{|}^2<1\iff \mathrm{Im}{z}_2>|z{|}^2$,

что означает, что построено следующее преобразованиеШаблон:Sfn:

${ℂ}^2\setminus \{z_2+i=0\}\leftrightarrow {ℂ}^2\setminus \{z_2-1=0\}$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H