Единица (алгебра)

Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства Шаблон:Num1) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой Шаблон:Mvar или Шаблон:Mvar.

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы, что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

В зависимости от алгебраической структуры и её точного определения равенство Шаблон:Math может быть как запрещено, так и разрешено, однако там, где такое равенство имеет место, объект тривиален. Поле имеет единицу по определению и требуется Шаблон:Math, так что всякое поле содержит как минимум Шаблон:Num1 различных элемента. В категории Шаблон:Math колец с единицей тривиальное кольцо является терминальным объектом.

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Шаблон:Main Обратимым называется всякий элемент Шаблон:Mvar кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

$\mathrm{\exists }{v}_1:v_{1}u=1$

$\mathrm{\exists }{v}_2:u{v}_2=1$

Из ассоциативности умножения следует, что в таком случае Шаблон:Math, откуда опять-таки следует, что выбор единственен.

Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr), но это понятие шире, нежели конкретный нейтральный элемент Шаблон:Math. Например, в поле обратим всякий элемент, отличный от нуля.

Идемпотентность

Шаблон:Main Если $e\in R$ — идемпотент в кольце, и идеалы $eR$ и $Re$ совпадают, то Шаблон:Mvar является там (в подкольце) единицей.

Добавление единицы

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент Шаблон:Math и определив умножение на линейных комбинациях как:

$(a_1+{\mu }_1\mathrm{𝟏})(a_2+{\mu }_2\mathrm{𝟏})=a_1{a}_2+{\mu }_1{a}_2+{\mu }_2{a}_1+{\mu }_1{\mu }_2\mathrm{𝟏}$

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент Шаблон:Math будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над $\mathbb{Z}$.

В градуированных алгебрах

В градуированной алгебре, единица (если существует) обязана иметь степень 0.

Примеры

• 1 (число): в целых, рациональных, действительных, и других числах
• Единичная матрица: см. умножение матриц
• Тождественный оператор в операторных алгебрах
• Многочлен 1 (нулевой степени) в кольце многочленов