Нейтральный элемент

Шаблон:Redirect Шаблон:Нет сносок Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть $(M,\cdot )$ — множество $M$ с определённой на нём бинарной операцией «$\cdot$». Элемент $e\in M$ называется нейтральным относительно $\cdot$ (умножения), если

$x\cdot e=e\cdot x=x,\mathrm{\forall }x\in M$.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент $e_{\mathrm{l}}$, для которого

$e_{\mathrm{l}}\cdot x=x,\mathrm{\forall }x\in M$,

и правый нейтральный элемент $e_{\mathrm{r}}$, для которого

$x\cdot e_{\mathrm{r}}=x,\mathrm{\forall }x\in M$.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент $e_{\mathrm{l}}$, и нейтральный справа элемент $e_{\mathrm{r}}$, то они обязаны совпадать (так как $e_{\mathrm{r}}=e_{\mathrm{l}}\cdot e_{\mathrm{r}}=e_{\mathrm{l}}$).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	$+$ (сложение)	Шаблон:Num1
Вещественные числа	$\cdot$ (умножение)	Шаблон:Num1
Вещественные числа	$-$ (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	$a^b$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	$÷$ (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	$+$ (сложение векторов)	$\overrightarrow{0}$ (нуль-вектор)
Матрицы размера $m\times n$	$+$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера $n\times n$	$\times$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида $f:M\to M$	$\circ$ (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	$\min$ (минимум) или $\inf$ (инфимум)	$+\mathrm{\infty }$
Расширенная числовая прямая	$\max$ (максимум) или $\sup$ (супремум)	$-\mathrm{\infty }$
Подмножества множества $M$	$\cap$ (пересечение множеств)	$M$
Множества	$\cup$ (объединение множеств)	$\varnothing$ (пустое множество)
Исчисление высказываний	$\wedge$ (конъюнкция)	$\mathrm{\top }$ (истина)
Исчисление высказываний	$\vee$ (дизъюнкция)	$\mathrm{\perp }$ (ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

• Шаблон:Iw
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

Ссылки

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity Шаблон:Ref-ru
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html Шаблон:Ref-ru
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/ Шаблон:Ref-en
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web ResourceШаблон:Ref-en