Расширенная числовая прямая

а) аффинно расширенная числовая прямая, б) проективно расширенная числовая прямая.

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел $ℝ$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: $+\mathrm{\infty }$ (положительная бесконечность) и $-\mathrm{\infty }$ (отрицательная бесконечность), то есть $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{+\mathrm{\infty };-\mathrm{\infty }\}=[-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }]$. Следует понимать, что $-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы $-\mathrm{\infty }$ и $+\mathrm{\infty }$ считаются неравными друг другу.Шаблон:Sfn

При этом для любого вещественного числа $x\in ℝ$ по определению полагают выполненными неравенства $-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.Шаблон:Sfn

Знак плюс для элемента $+\mathrm{\infty }$ часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как $\pm \mathrm{\infty }$.

Порядок

Множество вещественных чисел $ℝ$ линейно упорядоченно по отношению $⩽$. Однако в $ℝ$ нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы $\overline{ℝ}$ как раз состоит в добавлении максимального ($+\mathrm{\infty }$) и минимального ($-\mathrm{\infty }$) элементов.

Благодаря этому в системе $\overline{ℝ}$ всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и $+\mathrm{\infty }$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов $+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

$(\alpha ,\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha <x<\beta \}$ — интервал

$(\alpha ,\beta ]=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha <x\le \beta \}$, $[\alpha ,\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha \le x<\beta \}$ — полуинтервал

$[\alpha ,\beta ]=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha \le x\le \beta \}$ — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.Шаблон:Sfn

Топология

Отношение порядка $<$ порождает топологию $\tau$ на $\overline{ℝ}$. В топологии $\tau$ открытыми промежутками являются промежутки вида:

$(\alpha ,\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:\alpha <x<\beta \}$

$(\alpha ,+\mathrm{\infty }]=\{x\in \overline{ℝ}:x>\alpha \}$

$[-\mathrm{\infty },\beta )=\{x\in \overline{ℝ}:x<\beta \}$

$[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]=\{x\in \overline{ℝ}\}$

где $\alpha ,\beta \in \overline{ℝ}$. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестности

Окрестностью $U(a)$ точки $a\in \overline{ℝ}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии $\tau$, всякая окрестность точки $a$ включает один из открытых промежутков, содержащий $a$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие $\epsilon$-окрестности $U_{\epsilon }(a)$ точки расширенной числовой прямой ($\epsilon >0$).

В случае $a\in ℝ$, то есть когда $a$ является числом, $\epsilon$-окрестностью $a$ называется множество:

$U_{\epsilon }(a)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a-\epsilon ,a+\epsilon ).$

Если же $a=+\mathrm{\infty }$, то:

$U_{\epsilon }(+\mathrm{\infty })\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(\frac{1}{\epsilon },+\mathrm{\infty }],$

а если $a=-\mathrm{\infty }$, то:

$U_{\epsilon }(-\mathrm{\infty })\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}[-\mathrm{\infty },-\frac{1}{\epsilon }).$

Понятие $\epsilon$-окрестностей для бесконечностей определено таким образом, что во всех случаях — когда $a$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа $\epsilon$ соответствующие окрестности уменьшаются: $0<{\epsilon }_1<{\epsilon }_2\Rightarrow U_{{\epsilon }_1}(a)\subset U_{{\epsilon }_2}(a)$.Шаблон:Sfn

Проколотые окрестности и $\epsilon$-окрестности определяются соответственно как окрестность и $\epsilon$-окрестность, из которых удалили саму точку.

Пределы

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечности. В $\overline{ℝ}$ все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть $f:X\subseteq \overline{ℝ}\to \overline{ℝ}$, $x_0,a\in \overline{ℝ}$. Тогда:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{⟺}\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x\in X(x\in {\dot{U}}_{\delta }(x_0)\Rightarrow f(x)\in U_{\epsilon }(a))$

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случаи тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в $\overline{ℝ}$ равен одной из бесконечностей, то в $\widehat{ℝ}$ он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в $\widehat{ℝ}$ равен бесконечности, это ещё не значит, что в $\overline{ℝ}$ он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}$ в $\widehat{ℝ}$ равен бесконечности, а в $\overline{ℝ}$ он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в $\widehat{ℝ}$ равен бесконечности тогда и только тогда, когда в $\overline{ℝ}$ он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

Компактность

$\overline{ℝ}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел $ℝ$ является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел $\overline{ℝ}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация $ℝ$.Шаблон:Sfn При этом $\overline{ℝ}$ оказывается гомеоформным отрезку $[0,1]$. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм $f:[0,1]\to \overline{ℝ}$ задаётся формулой:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty }& x=0\\ \mathrm{tg}(\pi x-\frac{\pi }{2})& 0<x<1\\ +\mathrm{\infty }& x=1\end{array}$

В $\overline{ℝ}$ теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в $\overline{ℝ}$ существует сходящаяся в $\overline{ℝ}$ подпоследовательность. Таким образом, $\overline{ℝ}$ секвенциально компактно.

Операции

Для вещественных чисел и элементов $\pm \mathrm{\infty }$ стандартные операции доопределяются по непрерывности:

$\begin{array}{cccc}a\pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }+a& =\pm \mathrm{\infty },& a& \ne \pm \mathrm{\infty }\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\pm \mathrm{\infty },& a& >0\\ a\cdot (\pm \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\mp \mathrm{\infty },& a& <0\\ \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}& =0,& a& \in ℝ\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\pm \mathrm{\infty },& a& >0\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\mp \mathrm{\infty },& a& <0\\ a^{+\mathrm{\infty }}& =+\mathrm{\infty },& a& >1\\ a^{-\mathrm{\infty }}& =+\mathrm{\infty },& 0& <a<1\\ a^{-\mathrm{\infty }}& =0,& a& >1\\ a^{+\mathrm{\infty }}& =0,& 0& \le a<1\\ (+\mathrm{\infty }{)}^a& =+\mathrm{\infty },& a& >0\\ (+\mathrm{\infty }{)}^a& =0,& a& <0\\ \ln +\mathrm{\infty }& =+\mathrm{\infty }\end{array}$

Значение выражений $(+\mathrm{\infty })-(+\mathrm{\infty }),0\times (\pm \mathrm{\infty }),\frac{0}{0}$, $1^{\pm \mathrm{\infty }}$, $(\pm \mathrm{\infty }{)}^0$, $0^0$ не определены.Шаблон:Sfn

Вопреки распространённому мнению, значение выражения $\frac{a}{0}$, где $a\ne 0$, тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции $\frac{1}{x}$. Её предел в нуле слева равен $-\mathrm{\infty }$, а справа $+\mathrm{\infty }$, что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись $\frac{a}{0}=\mathrm{\infty }$ или $\frac{a}{0}=\pm \mathrm{\infty }$ относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

• $a+b=b+a$
• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $a\cdot b=b\cdot a$
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

• если $a\le b$, то $a+c\le b+c;$
• если $a\le b,c>0$, то $a\cdot c\le b\cdot c.$

См. также

Проективно расширенная числовая прямая

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга