Градуированная алгебра

Градуированная алгебра — алгебра $A$, разложенная в прямую сумму $A={⨁}_{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{A}_r$ своих подпространств $A_r$ таким способом, что выполняется условие $A_r{A}_s\subset A_{r+s}(r,s\in \mathbb{Z})$.

Определение

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей $A_g$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

$A_f{A}_g\subset A_{fg}$

Если ненулевой элемент a принадлежит $A_g$, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировками

• Если A — G-градуированная алгебра, а $\psi :G\to H$ — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H-градуировкой по правилу:

$A_h={\oplus }_{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}{A}_g$

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая $A_e=A$, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем $ℂ$ любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

  $G=(T({\mathrm{Aut}}_{k\text{-alg}}(A)){)}^{\vee }:A_g=\{a\in A\mid \varphi (a)=g(\varphi )a$ для всякого $\varphi \in T({\mathrm{Aut}}_{k\text{-alg}}(A))\}$

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G-градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий.
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой ${\mathbb{Z}}_{n-1}.$
• Шаблон:Iw $K\left[G\right]$ — является G-градуированной алгеброй.

Градуированный модуль

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

$M={⨁}_{i\in \mathbb{Z}}{M}_i$ и $A_i{M}_j\subseteq M_{i+j}.$

Морфизм градуированных модулей $f:N\to M$ — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть $f(N_i)\subseteq M_i$.

Для градуированного модуля M можно определить ℓ-подкрутку $M(\ell )$ как градуированный модуль, определённый правилом $M(\ell {)}_n=M_{n+\ell }$. (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если $f:M\to N$ — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если $f(M_n)\subset N_{n+d}$. Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

Литература

• Шаблон:Книга