Однолистная функция

Однолистная функция — комплексная функция $f(z)$, голоморфная или мероморфная в области $A\in ℂ$ и являющаяся биективным отображением между множеством $A$ и его образом $f(A)$Шаблон:Sfn.

Аналитическая функция $f$ локально однолистна в точке $z_0$, если существует некоторая окрестность ${𝒰}_{z_0}$, где $f$ однолистна (то есть $f^{\prime }(z_0)\ne 0$). Максимальная область однолистности для функции $f(z)$ — это область $A\subset ℂ$, в которой $f(z)$ однолистна, но в любой области $A^{\prime }\supset A$ функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция $f$, аналитичная в области $G$, которая продолжается непрерывно на жорданову кривую $\partial G$ и осуществляет взаимно однозначное отображение $\partial G$ на $f(\partial G)$, однолистна в $G$.

Примеры

Функция $f:z\mapsto 2z+z^2$ является однолистной в открытом единичном круге: из $f(z)=f(w)$ следует, что $f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$, и так как $|z+w|<2$, то $f(z)=f(w)$ лишь при $z=w$.

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга