Вариация однолистной функции

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию $f(z)$ комплексного переменного $z$ в некоторой области $D$ плоскости и зависящее от вещественного параметра $\lambda$, где $0⩽\lambda ⩽\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Lambda }>0$, семейство $F(z,\lambda )$ функций, также однолистных в $D$ при каждом фиксированном $\lambda \in [0,\mathrm{\Lambda }]$. Составим разность $F(z,\lambda )-F(z,0)\equiv \mathrm{\Phi }(z,\lambda )$, считая при этом, что $F(z,0)=f(z)$.

Тогда вариацией $n$-го порядка, или $n$-й вариацией ($n=1,2,\dots$) однолистной функции $f(z)$ по семейству $F(z,\lambda )$ называется коэффициент $q_n(z)$ при ${\lambda }^n$ в разложении $\mathrm{\Phi }(z,\lambda )$ по параметру $\lambda$ при условии, что остаточный член

${\phi }_n(z,\lambda )=\mathrm{\Phi }(z,\lambda )-q_1(z)\lambda -q_2(z){\lambda }^2-\dots -q_n(z){\lambda }^n$

имеет порядок малости более высокий, чем ${\lambda }^n$, равномерно относительно $z$ или в области $D$, или внутри $D$, или в замыкании $D$. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром, а позднее М. А. Лаврентьевым.

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях.

Литература

• Шаблон:Книга