Мероморфная функция

Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Мероморфная функция (от Шаблон:Lang-grc — часть и Шаблон:Lang-grc2 — форма) одного комплексного переменного в области $P\subset ℂ$ (или на римановой поверхности $P$) — голоморфная функция $f$ в области $P\setminus \{a_1,a_2,\dots \}$, которая в каждой особой точке $a_i$ имеет полюс (таким образом $a_i$ — изолированная точка множества $\{a_1,a_2,\dots \}$, не имеющего предельных точек в $P$, и $\underset{z\to a_i}{\lim }|f(z)|=\mathrm{\infty }$).

Определение

Вещественная мероморфная функция задается тройкой $(P,\tau ,f),$ где $P$ является компактной римановой поверхностью, $\tau :P\to P$ — антиголоморфная инволюция (инволюция комплексного сопряжения), а $f:P\to \widehat{ℂ}$ есть отображение на сферу Римана ($\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$). При этом она должна удовлетворять условию $\tau \circ f=\overline{f(z)}$ при всех $z\in P.$ Всякая вещественная функция строится по некоторой вещественной алгебраической функции: любой полином с вещественными коэффициентами $p(z)=a_0+a_{1}z+\dots +a_n{z}^n,$ $a_i(z)\in ℝ,$ является вещественной мероморфной функцией. Множество $P^{\tau }\subset P$ неподвижных точек инволюции $\tau$ состоит из простых попарно непересекающихся замкнутых контуров (овалов). Если $P\setminus P^{\tau }$ является связным (несвязным), то кривая называется неразделяющей (разделяющей). Вещественная мероморфная функция $f$ переводит овал $a$ вещественной кривой $(P,\tau )$ в контур $\widehat{ℝ}\subset S,$ где $\widehat{ℝ}=ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}.$ Степень отображения $f(a)\subset ℝ$ определяется как $f{|}_a:a\to \widehat{ℝ}.$ Индекс функции $(P,\tau ,f)$ на овале $a\in P^{\tau }$ — абсолютное значение степени $f{|}_a.$

Пространство вещественных мероморфных функций состоит из счётного числа компонент связности, где каждая компонента является незамкнутым конечномерным вещественным многообразием и выделяется заданием целочисленных топологических инвариантов. Например, инвариантами являются степень $n$ отображения $f$ и род $g$ кривой $P.$ Топологический тип функции $(P,\tau ,f)$ — набор чисел $(g,n,\epsilon \mid I),$ где $n$ — число листов накрытия $f,$ множество $I=(i_1,\dots ,i_k)$ — совокупность индексов функции $(P,\tau ,f)$ на овалах, а $\epsilon$ — число, равное 1 для разделяющих кривых, и 0 — для неразделяющих.

Совокупность $M(P)$ всех мероморфных функций на области $P$ является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

Свойства

• Отношение $\phi /\psi$ любых голоморфных в $P$ функций $\phi$ и $\psi$ является мероморфной функцией в $P$.
• Обратно, всякая мероморфная функция в области $P\subset ℂ$ (и на некомпактной римановой поверхности $P$) представляется в виде $\phi /\psi$, где $\phi$ и $\psi$ голоморфны и не имеют общих нулей в $P$.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле $M(P)$ совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в $P$.

• Всякая мероморфная функция $f\in M(P)$ определяет непрерывное отображение $f$ области $P$ в сферу Римана $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}=ℂP^1$.
• Обратно, всякое голоморфное отображение $f:P\to ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ определяет мероморфную функцию $f$ на $P$. При этом множество полюсов $f$ совпадает с дискретным множеством $f^{-1}(\mathrm{\infty })$.

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями на сферу Римана.

• На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами $\{a_1,a_2,\dots \}$ и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
• На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. также

• Вычет

Ссылки

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука, 1969. — 577 с.