Накрытие

Файл:RtoC CoverMap.jpg

Пример накрытия: накрытие $ℝ\to S^1$ окружности $S^1$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел $ℝ$

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$, такое, что у любой точки $y\in Y$ найдётся окрестность $U\subset Y$, полный прообраз которой $p^{-1}(U)$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $V_k\subset X$:

$p^{-1}(U)=V_1\cup V_2\cup \dots$,

причём на каждой области $V_k$ отображение $p:V_k\to U$ является гомеоморфизмом между $V_k$ и $U$.

Формальное определение

Отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$ называется накрытием, если у любой точки $y\in Y$ имеется окрестность $U\subset Y$, для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-1}(U)\to U\times \mathrm{\Gamma }$, где $\mathrm{\Gamma }$ — дискретное пространство, такое что если $\pi :U\times \mathrm{\Gamma }\to U$ обозначает естественную проекцию, то

$p{|}_{p^{-1}(U)}=\pi \circ h$.

Связанные определения

• Пространство $Y$ называется базой накрытия, а $X$ — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз $p^{-1}(y)$ точки $y\in Y$ называют слоем над точкой $y$.
• Число областей $V_k$ в полном прообразе $p^{-1}(U)$ называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно $n$, то накрытие называется $n$-листным.
• Накрытие $p:\tilde{Y}\to Y$ называется универсальным, если для любого другого накрытия $q:X\to Y$ существует накрытие $s:\tilde{Y}\to X$ такое, что $p=q\circ s$.

Примеры

• Пусть $S^1$ обозначает единичную окружность комплексной плоскости $S^1=\{z\in ℂ||z|=1\}$.
  • $p:ℝ\to S^1$,   $p:x\mapsto e^{2\pi ix}$.
  • $p:S^1\to S^1$,   $p:z\mapsto z^k$, где $k\ne 0$, $k\in \mathbb{Z}$.

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности $X$ и $Y$ и также локальной односвязности $Y$. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами ${\pi }_1(X,x_0)$ и ${\pi }_1(Y,y_0)$: если $p(x_0)=y_0$, то индуцированный гомоморфизм $p:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,y_0)$, отображает ${\pi }_1(X,x_0)$ изоморфно на подгруппу в ${\pi }_1(Y,y_0)$ и, меняя точку $x_0$ в $p^{-1}(y_0)$, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы $H$ (то есть $H$ — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы $G={\pi }_1(Y,y_0)/H$ на $X$, причём $p$ оказывается факторотображением на пространство орбит $Y$. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле $q:[0,1]\to Y$, $q(0)=q(1)=y_0$, сопоставить единственный путь $\tilde{q}:[0,1]\to X$, для которого $\tilde{q}(0)=x_0$ и $p\tilde{q}=q$, то точка $\tilde{q}(1)$ будет зависеть только от класса этой петли в $G$ и от точки $x_0$. Таким образом, элементу из $G$ отвечает перестановка точек в $p^{-1}(y_0)$. Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки $y_0$. Это определяет гомеоморфизм $X$, коммутирующий с $p$.

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия

Пространство неодносвязного универсального накрытия

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в $p^{-1}(y_0)$, то есть имеется действие ${\pi }_1(Y,y_0)$ на $p^{-1}(y_0)$, называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого $G={\pi }_1(Y,y_0)$ или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе $H\subset {\pi }_1(Y,y_0)$ однозначно строится накрытие $p:X\to Y$, для которого образ ${\pi }_1(X,x_0)$ есть $H$.

Для любого отображения $f$ линейно связного пространства $(Z,z_0)$ в $(Y,y_0)$ поднятие его до отображения $\tilde{f}:(Z,z_0)\to (X,x_0)$ существует тогда и только тогда, когда образ $f({\pi }_1(Z,z_0))$ лежит в $H$. Между накрытиями $Y$ имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в ${\pi }_1(Y,y_0)$. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).