Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

• Пусть $X$ — некоторое множество, а $𝒯$ — семейство всех его подмножеств. Тогда $𝒯$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара $(X,𝒯)$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть $(X,\rho )$ — метрическое пространство, где метрика $\rho$ определена следующим образом:

$\rho (x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& x\ne y,\\ 0,& x=y,\end{array}x,y\in X.$

Тогда $\rho$ называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

• Пусть $X=\{1,\dots ,n\},$ где $n\in \mathbb{N}$, и $\rho$ — дискретная метрика на $X$. Тогда $(X,\rho )$ — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть $X={\left\{\frac{1}{n}\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$ и $\rho (x,y)=|x-y|.$ Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
• Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Тривиальная топология.