База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства $X$, такое, что любое открытое множество в $X$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение

Семейство $𝔅$ открытых множеств топологического пространства $X$ называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из $X$ представимо в виде объединения элементов семейства $𝔅$.

Семейство $𝔅$ открытых множеств топологического пространства $X$ является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки $x$ пространства $X$ и её окрестности $U$ найдётся множество $V$ из $𝔅$ такое, что $x\in V\subset U$.

Вес топологического пространства

Минимальная из мощностей всех баз пространства $X$ называется весом топологического пространства $X$. Вес пространства $X$ обычно обозначается $w(X)$.

Свойства

• Для каждой базы $𝔅$ существует подмножество ${𝔅}_0$, являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
• Если вес пространства $X$ не более, чем счетный (то есть $X$ имеет счётную базу), то $X$ называют пространством со второй аксиомой счетности.
• В пространстве веса $\tau$ существует всюду плотное множество мощности $⩽\tau$.

Вариации и обобщения

• Локальная база пространства $X$ в точке $x\in X$ (база точки $x$) — семейство $𝔅(x)$ окрестностей точки $x$ со свойством: для любой окрестности $O_x$ точки $x$ найдется элемент $V\in 𝔅(x)$ такой, что $x\in V\subset O_x$.
  • Минимум мощностей всех локальных баз пространства $X$ в точке $x\in X$ называется характером пространства $X$ в точке $x$ и обозначается $\chi (x,X)$.
  • Супремум характеров пространства $X$ во всех точках $x\in X$ называется характером пространства $X$ и обозначается $\chi (X)$.
  • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
  • Семейство $𝔅$ открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки $x\in X$ подсемейство $𝔅(x)$ всех элементов $𝔅$, содержащих точку $x$ является локальной базой точки $x$.
• Система окрестностей — это семейство $\{𝔅(x){\}}_{x\in X}$, такое, что $𝔅(x)$ является локальной базой пространства $X$ в точке $x$ для каждого $x\in X$.
• Предбаза — семейство $Y$ открытых подмножеств топологического пространства $X$ такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов $Y$, образует базу пространства $X$.
• Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
• $\pi$-база (решёточная база) — семейство $𝔅$ непустых открытых подмножеств пространства $X$ такое, что всякое непустое открытое в $X$ множество содержит множество из $𝔅$, то есть $𝔅$ плотно по Хаусдорфу в пространстве $X$. Любая база есть $\pi$-база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха $\beta \mathbb{N}$ множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества $\mathbb{N}$ является $\pi$-базой, но не является базой.
• Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T₁-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей

• Семейство $𝔅$ подмножеств произвольного множества $X$ является базой некоторой топологии на $X$ в том, и только в том случае, когда $𝔅$ удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждая точка $x\in X$ принадлежит некоторому множеству $U$ из семейства $𝔅$.
2. Для любых множеств $U,V\in 𝔅$ и точки $x\in U\cap V$ существует множество $W\in 𝔅$ такое, что $x\in W\subset U\cap V$.

В этом случае $𝔅$ является базой топологии на $X$, в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из $𝔅$. Такую топологию называют топологией, порождённой базой $𝔅$.

• Для того, чтобы семейство $𝔅$ подмножеств произвольного множества $X$ было предбазой некоторой топологии на $X$ необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного Шаблон:Nobr При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из $𝔅$. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой $𝔅$. Это наименьшая топология, содержащая семейство $𝔅$.

• Совокупность $\{𝔅(x){\}}_{x\in X}$ семейств подмножеств произвольного множества $X$ является системой окрестностей некоторой топологии на $X$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. Для каждого $x\in X$ семейство $𝔅(x)$ непусто и $x\in U$ для любого $U\in 𝔅(x)$.
2. Для всякого $y\in U\in 𝔅(x)$ найдётся $V\in 𝔅(y)$ такое, что $V\subset U$.
3. Для всяких множеств $V,W\in 𝔅(x)$ существует $U\in 𝔅(x)$, такое, что $U\subset V\cap W$.

В этом случае $\{𝔅(x){\}}_{x\in X}$ является системой окрестностей топологии на $X$, состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства $\bigcup _{x\in X}𝔅(x)$. Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей $\{𝔅(x){\}}_{x\in X}$.

Примеры

• Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
• Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
• Если $X$ и $Y$ — топологические пространства с базами топологий ${𝔅}_X$ и ${𝔅}_Y$, тогда топология на декартовом произведении $X\times Y$ задаётся с помощью базы

${𝔅}_{X\times Y}=\{U\times V:U\in {𝔅}_X,V\in {𝔅}_Y\}$
При этом топология на $X\times Y$ не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

• Топология пространства действительных чисел $ℝ$ задаётся системой всех интервалов $(a,b)$, которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства ${ℝ}^n$ задаётся базой открытых брусов $(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times \dots \times (a_n,b_n)$, и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
• Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
• Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. также

• Теорема Есенина-Вольпина
• Склеивающая аксиома
• Нижняя часть базы

Литература

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
• Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
• Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
• Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Из