Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, $A$ плотно в $X$, если всякая окрестность любой точки $x$ из $X$ содержит элемент из $A$.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство $(X,𝒯)$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогда множество $A$ называется плотным во множестве $B$, если любая окрестность любой точки $B$ содержит хотя бы одну точку из $A$, то есть

$\mathrm{\forall }x\in B\mathrm{\forall }U\in 𝒯(x\in U)\Rightarrow (U\cap A\ne \varnothing ).$

• Множество $A$ называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда замыкание $A$ содержит $B$, то есть $\overline{A}\supset B$. В частности, $A$ всюду плотно, если $\overline{A}=X$.
• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$ не пересекается с $B$, то есть ${\left(A^{\complement }\right)}^0\cap B=\varnothing$. В частности, $A$ всюду плотно, если ${\left(A^{\complement }\right)}^0=\varnothing$.

Примеры

• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $ℝ$.

См. также

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

Литература

• Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
• Келли Дж. Л. Общая топология — Шаблон:М: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — Шаблон:М: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология Шаблон:Wayback. Учебник в задачах (рус., англ.)

Шаблон:ВС