Внутренность

Шаблон:Другие значения Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Внутренность множества $A$ обычно обозначается как $\mathrm{Int}(A)$, $\mathrm{int}(A)$ или $\stackrel{\circ }{A}$.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,𝒯),$ где $X$ — произвольное множество, а $𝒯$ — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество $A\subset X$.

Ниже рассматривается открытость подмножеств $B\subset A$ как подмножеств всего $X$ (например, $A$ обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом $X$ явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность $𝒯$.

Тогда внутренность множества $A$ можно определить несколькими эквивалентными способами:

• Внутренность — объединение всех открытых подмножеств $B\subset A$:

  $\mathrm{int}(A)=\bigcup _{B\in 𝒯,B\subset A}B$.

• Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество $A$:

  $(\mathrm{int}(A)\in 𝒯)\wedge (\mathrm{int}(A)\subset A)\wedge \mathrm{\forall }B((B\in 𝒯)\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \mathrm{int}(A)))$.

Точка $x$ — внутренняя, а точка $y$ — не внутренняя (в данном случае — граничная)

• Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка $x\in A$ называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество $B\subset A$, такое что $x\in B$:

  $\mathrm{int}(A)=\{x\in A:\mathrm{\exists }B\subset A,x\in B,B\in 𝒯\}$.

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства

• Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств $X$.
• Внутренность $\mathrm{int}(A)$ — открытое множество.
• Множество $A$ открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

  $(A\in 𝒯)\iff (A=A^0)$.

  • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
• Операция внутренности идемпотентна:

  $\mathrm{int}(\mathrm{int}(A))=\mathrm{int}(A)$.

• Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:

  $(A\subset B)\Rightarrow (\mathrm{int}(A)\subset \mathrm{int}(B))$.

• В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть $X$ — метрическое пространство с метрикой $d$, и $M$ — его подмножество. Точка $x\in M$ является внутренней для $M$ тогда и только тогда, когда существует $\epsilon >0$, такое что $\mathrm{\forall }y\in X,d(x,y)<\epsilon \Rightarrow y\in M$. Иначе говоря, $x$ входит в $M$ вместе с шаром радиуса $\epsilon$ с центром в $x$.

Примеры

• $\mathrm{int}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }.$
• Если $A\subset {ℝ}^n$ — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то $\mathrm{int}(A)=\mathrm{\varnothing }$.
• Если $X=ℝ$ — вещественная прямая со стандартной топологией, и $[a,b]\subset ℝ$, то $\mathrm{int}([a,b])=(a,b).$
• Если $X$ — дискретное пространство, то для любого $A\subset X$ имеем $\mathrm{int}(A)=A$.

Вариации

Относительная внутренность

Шаблон:Основная статья Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Литература

• Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. также

• Внешность
• Граница
• Замыкание
• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность