Внешность (топология)

Шаблон:Значения Вне́шность в общей топологии — внутренность дополнения к заданному множествуШаблон:Sfn. Внешняя точка заданного множества — точка внешности.

Для множества $A$ в топологическом пространстве $(X,𝒯)$ точка $x\in X$ является внешней по отношению к $A$, если существует её окрестность $U_x\in 𝒯$, не пересекающаяся с $A$, то есть $U\cap A=\varnothing$. Используемые обозначения для внешности множества $A$ — $\mathrm{ext}A$, $\mathrm{Ext}A$, $A^{\mathrm{e}}$.

Например, для интервала $(a,b)$ на вещественной прямой со стандартной топологией его внешность:

$\mathrm{ext}(a,b)=(-\mathrm{\infty },a)\cup (b,\mathrm{\infty })$.

Внешность (будучи внутренностью) всегда открыта. Внешность внешности заданного множества — его внутренность:

$\mathrm{ext}\mathrm{ext}A=\mathrm{int}A$,

внешность внутренности данного множества совпадает с его внешностью:

$\mathrm{ext}\mathrm{int}A=\mathrm{ext}A$.

Для всякого множества $A$ объединение его внутренности, границы и внешности раздельно (состоит из непересекающихся компонент) и даёт всё топологическое пространство:

$\mathrm{int}A\uplus \partial A\uplus \mathrm{ext}A=X$,

границу множества можно выразить как дополнение к раздельному объединению его внутренности со внешностью:

$\partial A=X\setminus (\mathrm{int}A\uplus \mathrm{ext}A)$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга