Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество $A$ топологического пространства $(X,\tau )$, внутренность замыкания которого пуста ($\mathrm{Int}\overline{A}=\varnothing$), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства $X$.

Эквивалентно, множество $A\subseteq X$ является нигде не плотным в $X$ тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве $U$ можно найти непустое открытое множество $V$, не пересекающееся с $A$ (то есть $V\subseteq U\setminus A$).

Свойства

• Семейство $\mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ всех нигде не плотных множеств пространства $X$ образуют идеал подмножеств $X$, то есть:

  если $A,B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$, то $A\cup B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$,

  если $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ и $B\subseteq A$, то $B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$,

  $X\notin \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$.

• Если $A\subseteq Y\subseteq X$ и $A$ является нигде не плотным в $Y$ ($A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y)$ где топология в $Y$ индуцированна от $X$), тогда $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$.
• Пусть $A\subseteq Y\subseteq X$ и $Y$ — плотное подмножество в $X$. Тогда $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ тогда и только тогда, когда $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y)$.
• Множество $A$ является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См. также

• Множество первой категории

Литература

• Шаблон:Книга
• О. Виро. Элементарная топология. 2010.