Индуцированная топология

Индуци́рованная тополо́гия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,𝒯)$, где $X$ — произвольное множество, а $𝒯$ — определённая на $X$ топология. Пусть также $Y\subset X$. Определим ${𝒯}_Y$ — семейство подмножеств $Y$ следующим образом:

${𝒯}_Y=\{U\cap Y\mid U\in 𝒯\}.$

Несложно проверить, что ${𝒯}_Y$ является топологией на $Y$. Эта топология называется индуцированной топологией $𝒯$. Топологическое пространство $(Y,{𝒯}_Y)$ называется подпростра́нством $(X,𝒯)$.

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть $X$ – произвольное множество, $(Y,{𝒯}_Y)$ – топологическое пространство и $f:X\to Y$ – произвольное отображение $X$ в $Y$. Тогда в качестве ${𝒯}_X$ возьмем всевозможные множества вида $f^{-1}$($V$), где $V$ – открытые множества в $Y$. Топология ${𝒯}_X$ называется индуцированной отображением $f$ топологией. Она хороша тем, что отображение $f$ в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства $X$, для которых отображение $f$ будет непрерывным.

Пример

Пусть дана вещественная прямая $ℝ$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел $\mathbb{N}\subset ℝ$, является дискретной.