Фундаментальная группа

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства $X$ с отмеченной точкой $x_0$ обычно обозначается ${\pi }_1(X,x_0)$ или ${\pi }_1(X)$, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как ${\pi }_1(X)=0$, хотя обозначение ${\pi }_1(X)=\{1\}$ более уместно.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство с отмеченной точкой $x_0\in X$. Рассмотрим множество петель в $X$ из $x_0$; то есть множество непрерывных отображений $f:[0,1]\to X$, таких что $f(0)=x_0=f(1)$. Две петли $f$ и $g$ считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия $f_t$, удовлетворяющая свойству $f_t(0)=x_0=f_t(1)$. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются $[f]$) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

$(f\ast g)(t)=\{\begin{array}{c}f(2t),t\in [0,\frac{1}{2}]\\ g(2t-1),t\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

Произведением двух гомотопических классов $[f]$ и $[g]$ называется гомотопический класс $[f\ast g]$ произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства $X$ с отмеченной точкой $x_0$ и обозначается ${\pi }_1(X,x_0)$.

Комментарии

• Про $(X,x_0)$ можно думать как о паре пространств $(X,\{x_0\})$.
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если $X$ — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать ${\pi }_1(X)$ вместо ${\pi }_1(X,x_0)$ не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек $x,y\in X$ канонический изоморфизм между ${\pi }_1(X,x)$ и ${\pi }_1(X,y)$ существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения

• Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств $\phi :(X,x_0)\to (Y,\phi (x_0))$ индуцирует гомоморфизм ${\phi }_{\ast }={\pi }_1\phi :{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,\phi (x_0))$, определяемый формулой ${\phi }_{\ast }[f]=[\phi f]$. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор ${\pi }_1:𝐡𝐓𝐨𝐩\to 𝐆𝐫𝐩$.

• Пространство $X$ называется односвязным, если оно линейно связно и группа ${\pi }_1(X)$ тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры

• В ${ℝ}^n$ есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, ${\pi }_1({ℝ}^n)=0$. То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества ${ℝ}^n$.

• В окружности ${𝕊}^1$, каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел $\mathbb{Z}$.

• Фундаментальная группа $n$-мерной сферы ${𝕊}^n$ тривиальна при всех $n\ge 2$.

• Фундаментальная группа восьмёрки ${𝕊}^1\vee {𝕊}^1$ неабелева — это свободное произведение $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$. Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если $X$ и $Y$ — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: ${\pi }_1(X\vee Y)\cong {\pi }_1(X)\ast {\pi }_1(Y).$

• Фундаментальная группа плоскости ${ℝ}^2$ c $n$ выколотыми точками — свободная группа с $n$ порождающими.

• Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода $g$ может быть задана образующими $a_1,\dots ,a_g,b_1,\dots ,b_g$ с единственным соотношением: $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\dots a_g{b}_g{a}_g^{-1}{b}_g^{-1}=1$.

Свойства

Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа. Обратное верно для линейно связных асферических пространств (пространство Эйленберга — Маклейна).

Если $A$ — ретракт $X$, содержащий отмеченную точку $x_0$, то гомоморфизм $i_{\ast }:{\pi }_1(A,x_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$, индуцированный вложением $i:A\hookrightarrow X$, инъективен. В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности $X$, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего $X$. Если $A$ — строгий деформационный ретракт $X$, то $i_{\ast }:{\pi }_1(A,x_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$ является изоморфизмом.

${\pi }_1$ сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками $(X,x_0)$ и $(Y,y_0)$ существует изоморфизм:

${\pi }_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong {\pi }_1(X,x_0)\times {\pi }_1(Y,y_0)$

естественный по $(X,x_0)$ и $(Y,y_0)$.

Теорема ван Кампена: Если $X$ — объединение линейно связных открытых множеств $A_{\alpha }$, каждое из которых содержит отмеченную точку $x_0\in X$, и если каждое пересечение $A_{\alpha }\cap A_{\beta }$ линейно связно, то гомоморфизм $\mathrm{\Phi }:{\ast }_{\alpha }{\pi }_1(A_{\alpha })\to {\pi }_1(X)$, индуцированный вложениями $A_{\alpha }\hookrightarrow X$, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$ линейно связно, то ядро гомоморфизма $\mathrm{\Phi }$ — это наименьшая нормальная подгруппа $N$, содержащая все элементы вида $i_{\alpha \beta }(\omega )i_{\beta \alpha }(\omega {)}^{-1}$ (где $i_{\alpha \beta }$ индуцирован вложением $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$), а потому $\mathrm{\Phi }$ индуцирует изоморфизм ${\pi }_1(x)\cong {\ast }_{\alpha }{\pi }_1(A_{\alpha })/N$ (первая теорема об изоморфизме). В частности, ${\pi }_1$ сохраняет копроизведения: ${\pi }_1(\underset{\alpha }{\bigvee }{X}_{\alpha })\cong {\ast }_{\alpha }{\pi }_1(X_{\alpha })$ естественно по всем $X_{\alpha }$. Случай двух $A_{\alpha }$: условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что ${\pi }_1(A_1\cup A_2)\cong {\pi }_1(A_1){\ast }_{\pi (A_1\cap A_2)}{\pi }_1(A_2)$, что является ограниченной (случаем линейно связного $A_1\cap A_2$) формой сохранения толчков.

Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона.

Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена).

Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса.

Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия.

Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено).

Вариации и обобщения

• Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
• Шаблон:Iw пространства $X$ называют группоид $\mathrm{\Pi }(X)$, объектами которого являются точки $X$, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом ${\pi }_1(X,x_0)\cong {\mathrm{Aut}}_{\mathrm{\Pi }(X)}{x}_0$, и если $X$ линейно связно, то вложение ${\pi }_1(X,x_0)\hookrightarrow \mathrm{\Pi }(X)$ является эквивалентностью категорий.

Литература

• Шаблон:Книга
• Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf)
• Шаблон:Книга