Букет пространств

Букет пространств  — пространство, полученное склейкой нескольких топологических пространств по одной точке.

Определение

Букет $X_1\vee X_2$ двух пространств $X_1$ и $X_2$ с отмеченными точками $x_1\in X_1$ и $x_2\in X_2$  можно определить как факторпространство несвязного объединения  $X_1$ и $X_2$

$X_1\vee X_2=(X_1\bigsqcup X_2)/\sim ,$

где $\sim$ обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_1\sim x_2$.

Подобным образом определяется букет произвольного числа пространств с отмеченными точками $\{(X_{\alpha },x_{\alpha }){\}}_{\alpha \in 𝒜}$

$\underset{\alpha }{\bigvee }{X}_{\alpha }=\underset{\alpha }{⨆}{X}_{\alpha }/\sim ,$

где $\sim$ обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_{\alpha }\sim x_{\beta }$ для всех $\alpha$ и $\beta$.

Замечания

• Букет зависит от выбора отмеченных точек.
• Букет пространств сам естественным образом является пространством с отмеченной точкой.
• Как бинарная операция, построение букета является ассоциативным и коммутативным (с точностью до изоморфизма).

Описание через категории

Букет можно понимать как копроизведение в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Кроме того, букет  можно рассматривать как кодекартов квадрат схемы X ← {•} → Y в категории топологических пространств, где {•} обозначает одноточечное пространство.

Свойства

• Если отмеченные точки допускают односвязные окрестности, то фундаментальная группа букета $X_1\vee X_2$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $X_1$ и $X_2$. Это утверждение немедленно следует из теоремы ван Кампена.

См. также

• Гавайская серьга — топологическое пространство, напоминающее букет счётного числа окружностей, но отличное от него.