Кодекартов квадрат
Кодекартов квадрат (также — универсальный квадрат) — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата. Кодекартов квадрат является частным случаем копредела.
Универсальное свойство
Пусть Шаблон:Math — морфизмы в категории Шаблон:Math. Кодекартов квадрат для пары морфизмов Шаблон:Math — это коммутативный квадрат вида
,
который удовлетворяет универсальному свойству, то есть для любого объекта Шаблон:Math с морфизмами Шаблон:Math, дополняющими Шаблон:Math до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм Шаблон:Math, делающий следующую диаграмму коммутативной:
.svg)
Объект с морфизмами Шаблон:Math называется расслоенным копроизведением (расслоенной суммой, амальгамой, амальгамированной суммой, Шаблон:Lang-en).
Как и любые универсальные конструкции, кодекартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.
Примеры
- В категории множеств — это дизъюнктное объединение Шаблон:Math и Шаблон:Math, в котором отождествлены элементы с общим прообразом в Шаблон:Math. Более точно, где Шаблон:Math — наименьшее отношение эквивалентности, такое что Шаблон:Math.
- Конструкция Шаблон:Нп5 является примером построения расслоенных копроизведений в категории топологических пространств. Более подробно, если Шаблон:Math — подпространство Шаблон:Math и Шаблон:Math — соответствующее Шаблон:Нп5, то можно «склеить» Шаблон:Math с Шаблон:Math по Шаблон:Math, используя «отображение соответствия» Шаблон:Math. Получившееся в результате склеенное пространство является расслоенным копроизведением Шаблон:Math и Шаблон:Math.
- В категории абелевых групп о кодекартовом квадрате можно говорить как о прямой сумме абелевых групп «со склейкой». А именно, если Шаблон:Math и Шаблон:Math — гомоморфизмы с общим источником Шаблон:Math, кодекартов квадрат является факторгруппой прямой суммы по подгруппе, порождённой всеми элементами вида Шаблон:Math. Примерно то же самое можно проделать в категории модулей.