Пространство Эйленберга — Маклейна

Пространство Эйленберга — Маклейна (или пространство типа $K(G,n)$) — топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой $G$ в размерности $n$.

Для заданной группы $G$ и положительного целого числа $n$ линейно связное топологическое пространство $X$ называется пространством Эйленберга — Маклейна типа $K(G,n)$, если оно имеет $n$-ю гомотопическую группу ${\pi }_n(X)$, изоморфную $G$, а все остальные гомотопические группы $X$ тривиальны. Если $n>1$, то необходимо предположить, что $G$ коммутативна.

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

При данных $G$ и $n$, пример $K(G,n)$-пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из $n$-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы $G$, и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности $n+1$.

Примеры

• Окружность ${𝕊}^1$ является $K(\mathbb{Z},1)$ пространством.

• Бесконечномерное вещественное проективное пространство $ℝ{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }}$ является $K({\mathbb{Z}}_2,1)$ пространством.

• Сумма букет $k$ окружностей ${\bigvee }_{i=1}^k{𝕊}^1$ это $K(G,1)$ для $G$ — свободная группа с $k$ образующими.

• Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере ${𝕊}^3$ является $K(G,1)$-пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.

• Асферическое пространство — $K(G,1)$-пространство.

• Любое компактное связное неположительной секционной кривизны многообразие $M$ является $K(\mathrm{\Gamma },1)$, где $\mathrm{\Gamma }={\pi }_1(M)$ является фундаментальной группой $M$. То же верно для локально-CAT(0)-пространств.

• Бесконечномерное комплексное проективное пространство $ℂ{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }}$ является $K(\mathbb{Z},2)$-пространством. Его кольцо когомологий $\mathbb{Z}[x]$ а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей $x$ в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

Свойства

• Пространство Эйленберга — Маклейна типа $K(G,n)$ единственненно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.

• Произведение $K(G,n)$- и $K(H,n)$-пространств является $K(G\times H,n)$-пространством.

• Для $K(G,n)$-пространства $X$ и произвольного CW-комплекса $K$ для множества гомотопических классов отображений $K\to X$ существует естественная биекция с группой когомологий $H^n(K,G)$. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.

• Пространство петель пространства $K(G,n)$ пространства является $K(G,n-1)$-пространством.

См. также

• Гомологическая сфера

Литература

• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья