Лемма Йонеды

Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Названа Саундерсом Маклейном в честь Нобуо Ёнэды, сообщившего ему этот результат в частной беседе в 1954 или 1955 году.

Общий случай

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта $A$ можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

$h^A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$.

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта $A$ категории $𝒞$, естественные преобразования из $h^A$ в произвольный функтор $F$ из категории $𝒞$ в категорию множеств $𝐒𝐞𝐭$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами $F(A)$:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,F)\cong F(A)$.

Для данного естественного преобразования $\mathrm{\Phi }$ из $h^A$ в $F$ соответствующий элемент $F(A)$ — это $u={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$, то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

$h_A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,A)$,

отправляющий $X$ во множество $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,A)$. Для произвольного контравариантного функтора $G$ из $𝒞$ в $𝐒𝐞𝐭$

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,G)\cong G(A)$.

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Диаграмма показывает, что естественное преобразование $\mathrm{\Phi }$ полностью определяется ${\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)=u$, так как для любого морфизма $f:A\to X$:

${\mathrm{\Phi }}_X(f)=(Ff)u$.

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого $u\in F(A)$ (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор $F$ также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,h^B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,A)$.

Отображение каждого объекта $A$ категории $𝒞$ в соответствующий Hom-функтор $h^A=Hom(A,-)$ и каждый морфизм $f:B\to A$ в соответствующее естественное преобразование $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(f,-)$ задаёт контравариантный функтор $h^{-}$ из $𝒞$ в ${𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}$, либо ковариантный функтор:

$h^{-}:{𝒞}^{\text{op}}\to {𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}$.

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что $h^{-}$ — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение ${𝒞}^{op}$ в категорию функторов в $𝐒𝐞𝐭$.

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,h_B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$.

Следовательно $h_{-}$ задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

$h_{-}:𝒞\to {𝐒𝐞𝐭}^{{𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$.

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика