Теорема Кэли (теория групп)

Шаблон:Значения Теорема Кэли — теоретико-групповое утверждение об изоморфности всякой конечной группы $(G_n,\circ )$ порядка $n$ некоторой подгруппе группы перестановок $S_n$. При таком соответствии каждый элемент $a\in G$ сопоставляется с перестановкой ${\pi }_a$, задаваемой тождеством ${\pi }_a(g)=a\circ g$, где $g$ — произвольный элемент группы $G$.

Например, для группы $G={\mathbb{Z}}_4$ с заданной операцией $+$ можно определить отображение $\phi :{\mathbb{Z}}_4\to S_4$:

$\phi (0)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 2& 3\end{array}\right]$

$\phi (1)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 1& 2& 3& 0\end{array}\right]$

$\phi (2)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right]$

$\phi (3)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 3& 0& 1& 2\end{array}\right]$

В данном построении перестановка $\phi (n)$ для каждого $n$ задаёт «таблицу сложения» с числом $n$, например, число 2 в $\phi (1)$ переходит на сумму (операцию группы $G={\mathbb{Z}}_4$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, $\phi (0)$ задаёт тождественное отображение ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_G(g)=g$, и отображение $\phi$ является гомоморфизмом.

Теоретико-категорное обобщение — лемма Йонеды (в её рамках группа может быть рассмотрена как категория из одного объекта).

Доказательство

Пусть $G$ - наша группа, $n=|G|$. Можно считать, что $S_n$ - группа всех биективных отображений множества $G$ на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из $S_n$, несущественна.

Для любого элемента $a\in G$ рассмотрим отображение $L_a:G\to G$, определённое формулой $L_a(g)=ag$.

Если $e=g_1$$,g_2,...,g_n$ - все элементы группы $G$, то $a,a{g}_2,...,a{g}_n$ будут теми же элементами, но расположенными в каком-то другом порядке. $a{g}_i=a{g}_j\Rightarrow a^{-1}(a{g}_i)=a^{-1}(a{g}_j)\Rightarrow (a^{-1}a)g_i=(a^{-1}a)g_j\Rightarrow g_i=g_j$

Значит, $L_a$ - биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет $L_a^{-1}=L_{a^{-1}}$. Единичным отображением является, естественно $L_e$.

Используя вновь ассоциативность умножения в $G$, получаем $L_{ab}(g)=(ab)g=a(bg)=L_a(L_{b}g)$, т.е. $L_{ab}=L_a{L}_b$

Итак, множество $L_e,L_{g_2},...,L_{g_n}$ образуют подгруппу, скажем, $H$, в группе $S(G)$ всех биективных отображений множества $G$ на себя, т.е. в $S_n$. Мы имеем включение $H\subset S_n$ и имеем соответствие $L:a\mapsto L_a\in H$, обладающее по сказанному выше всеми свойствами изоморфизма.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Общая алгебра