Линейно связное пространство

Линейно связное подмножество евклидовой плоскости

Лине́йно свя́зное простра́нство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой $[0,1]\subset ℝ$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство $(X,𝒯).$ Тогда последнее называется линейно связнымШаблон:Sfn, если для любых двух точек $x,y\in X$ найдётся непрерывное отображение $f:[0,1]\to X$ такое, что

  $f(0)=x,f(1)=y.$

• Пусть дано подмножество $M\subset X$. Тогда на нём естественным образом определяется топология ${𝒯}_M$, индуцированная $𝒯$. Если пространство $(M,{𝒯}_M)$ линейно связно, то подмножество $M$ также называется линейно связным в $X$Шаблон:Sfn.

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства $X$ содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства $X$Шаблон:Sfn.
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
• Если существует база топологии пространства $X$, состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$ и само пространство $X$ (в этой топологии) называются локально линейно связнымиШаблон:Sfn.

Примеры

Замыкание графика функции $\sin (1/x)$ — пример связного, но не линейно связного множества.

• Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространствШаблон:Sfn.
• Дополнение ${ℝ}^n\mathrm{\setminus }A,n⩾2$, где $A$ — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в ${ℝ}^n$ коразмерности 2 и больше.
• Замыкание графика функции $\sin \frac{1}{x}$ при $x\ge 0$ — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок $[-1,1]$ на оси ординатШаблон:Sfn.
• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверноШаблон:Sfn.
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связанШаблон:Sfn.
• Если пространство $X$ линейно связно и $x,y\in X$, то гомотопические группы ${\pi }_1(X,x)$ и ${\pi }_1(X,y)$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма ${\pi }_1(X,x)$Шаблон:Sfn.

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что $X=ℝ$, а $𝒯$ — стандартная топология числовой прямой. ТогдаШаблон:Sfn

• Подмножество $M\subset ℝ$ линейно связно тогда и только тогда, когда

  $\mathrm{\forall }x,y\in M:(x⩽y)\Rightarrow ([x,y]\subset M),$

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  $(a,b),[a,b),(a,b],[a,b],(-\mathrm{\infty },b),(-\mathrm{\infty },b],(a,+\mathrm{\infty }),[a,+\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }).$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является $k$-связность (связность в размерности $k$). Пространство $X$ называется связным в размерности $k$, если любые два отображения $r$-мерной сферы $S^r$ в $X$, где $r⩽k$, гомотопны. В частности, $0$-связность — это то же, что линейная связность, а $1$-связность — то же, что односвязностьШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга