Асферическое пространство

Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы ${\pi }_n(X)$, кроме $n=1$, тривиальны.

Каждое асферическое пространство $X$ по определению является пространством Эйленберга — Маклейна типа $K(G,1)$, где $G={\pi }_1(X)$ является фундаментальной группой $X$. Кроме того, оно является Шаблон:Iw для группы $G$, рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.

Свойства

• По Шаблон:Iw, CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо.

• Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.

• Для асферического пространства $X$ асферическое пространство и связного CW-комплекса $K$ любое непрерывное отображение из 2-мерного остова $K$ в $X$ может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём $K$. Кроме того, для любого гомоморфизма фундаментальных групп $h:{\pi }_{1}K\to {\pi }_{1}X$ существует непрерывное отображение $\phi :K\to X$, которое индуцирует $h$. Более того, $\phi$ единственно с точностью до гомотопии.

• Прямое произведение асферических пространств — асферическое пространство.

Примеры

• Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими. Тор любой размерности асферичен.

• Любое Шаблон:Iw асферично. Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально-CAT(0)-пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.

• Дополнение узла в ${𝕊}^3$ является асферическим по теореме о сфере

• Любое нильмногообразие асферично.

• Бесконечномерное линзовое пространство ${𝕊}^{\mathrm{\infty }}/{\mathbb{Z}}_p$ асферично.

См. также

• Существенное многообразие

Ссылки

• Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.