Линзовое пространство

Линзовое пространство — многообразие нечётной размерности, являющееся факторпространством $S^{2n-1}/{\mathbb{Z}}_p$ сферы $S^{2n-1}$ по изометрическому свободному действию циклической группы ${\mathbb{Z}}_p$.

Сферу $S^{2n-1}$ всегда возможно расположить в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ с фиксированным базисом, так чтобы образующая ${\mathbb{Z}}_p$, действовала на каждой координате $z_i$ умножениями на ${\xi }_p^{q_i}$ где ${\xi }_p=\exp 2\pi i/p$. Такое действие является свободным тогда и только тогда, когда для каждого $i$, $q_i$ взаимнопросто с $p$. Это пространство обычно обозначается $L(p;q_1,\dots ,q_n)$.

Фундаментальную область действия ${\mathbb{Z}}_p$ на $S^{2n-1}$ удобно представлять себе в виде «линзы» — пересечение двух полусфер — откуда и возникло название «линзовое пространство».

Прямой предел $S^{\mathrm{\infty }}/{\mathbb{Z}}_p$ линзовых пространств при $n\to \mathrm{\infty }$ даёт асферическое пространство, а точнее пространство Эйленберга — Маклейна типа $K({\mathbb{Z}}_p,1)$. В трёхмерном случае линзовое пространство совпадают с многообразиями, имеющими диаграмму Хегора рода 1, и поэтому они являются многообразиями Зейферта.