Гомотопия

Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $F_t:X\to Y,t\in [0,1]$, непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $F:[0,1]\times X\to Y$.

Связанные определения

• Отображения $f,g:X\to Y$ называются гомотопными ($g\sim f$), если существует гомотопия $f_t$ такая, что $f_0=f$ и $f_1=g$.
  • Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями $X\to Y$.

• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств $X$ и $Y$ — пара непрерывных отображений $f:X\to Y$ и $g:Y\to X$ такая, что $f\circ g\sim {\mathrm{id}}_Y$ и $g\circ f\sim {\mathrm{id}}_X$, здесь $\sim$ обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что $X$ с $Y$ имеют один гомотопический тип.
  • Если $X$ и $Y$ гомеоморфны ($X\simeq Y$), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.

• Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
• Если на некотором подмножестве $A\subset X,F(t,a)=f(a)$ для всех $t$ при $a\in A$, то $F$ называется гомотопией относительно $A$, а $f$ и $g$ — гомотопными относительно $A$.
• Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым, или гомотопным нулю.

Вариации и обобщения

• Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$ по топологическому пространству $Y$ $f_t:X\to Y,t\in [0,1]$, в которой при любом $t$ отображение $f_t$ является гомеоморфизмом $X$ на $f_t(X)\subset Y$.
• Отображение $f:X\to Y$ называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство $A$ топологического пространства $X$ такое, что включение $A\subset X$ является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.
• Если $\phi :E\to X$ и ${\phi }^{\prime }:E^{\prime }\to X$ есть произвольные расслоения над $X,$ то гомотопия $f_t:E\to E^{\prime }$ называется послойной, если ${\phi }^{\prime }{f}_t=\phi .$ Морфизмы $f,g:E\to E^{\prime }$ послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия $f_t:E\to E^{\prime },$ для которой выполняются равенства $f_0=f$ и $f_1=g.$ Морфизм $f:E\to E^{\prime }$ — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм $g:E^{\prime }\to E$ такой, что $gf$ и $fg$ послойно гомотопны $\mathrm{I}\mathrm{d}.$ Расслоения $E$ и $E^{\prime }$ принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность $f:E\to E^{\prime }.$

См. также

• Гомотопические группы
• Фундаментальная группа
• Цепная гомотопия

Литература

• Шаблон:Книга
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — Шаблон:М: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971