Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

Определение

Пусть $A$ и $B$ линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из $A$ в $B$ есть непрерывное отображение $f:A\to B$ такое, что индуцированные отображения $f_n:{\pi }_n(A,a_0)\to {\pi }_n(B,b_0)$ биективны при всех $n\ge 1$ для некоторой (а значит для любой) пары точек $b_0=f(a_0)$.

Свойства

• Существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$, вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $B\to A$.

• Изоморфность групп ${\pi }_{n}A$ и ${\pi }_{n}B$ вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to B$.

• Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.