Группоид (теория категорий)

В то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе $G$, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента $g$ из $G$, композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории $C$ группоидом является подкатегория $D\hookrightarrow C$, объекты которой совпадают с объектами $C$, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в $C$.

Для линейно связного топологического пространства $X$ определяется его фундаментальный группоид ${\mathrm{\Pi }}_1(X)$ как 2-категория, объектами которой являются все точки из $X$, а стрелки из $x\in X$ в $y\in X$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из $x$ в $y$:

$f:[0;1]\to X,f(0)=x,f(1)=y$.

Две функции $f$ и $g$ задают один и тот же путь, если существует $s:[0;1]\to [0;1]$, так что $f=g\circ s$ или $g=f\circ s$. Композиция стрелок задаётся композицией путей:

$fg(t)=\{\begin{array}{c}f(2t),0⩽t⩽1/2\\ g(2t-1),1/2⩽t⩽1\end{array}$.

2-морфизм из $f$ в $g$ — это гомотопия из $f$ в $g$. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки $x\in X$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта $x\in {\mathrm{\Pi }}_1(X)$.

Категория векторных расслоений ранга $n$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие Шаблон:Iw (который является частным случаем Шаблон:Iw), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий $H^2(X,𝒢)$, где $𝒢$ — пучок групп на $X$. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп $𝒢$.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика