Род поверхности

Поверхность рода 0

Поверхность рода 1

Поверхность рода 2

Поверхность рода 3

Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности $\mathrm{\Sigma }$. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Примеры

• Сфера имеет род 0.
• Тор имеет род 1.
• Проективная плоскость $ℝ{\mathrm{P}}^2$ имеет род 1.

Свойства

Ориентируемые поверхности

• Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек.

Эквивалентно, $\mathrm{\Sigma }$ имеет род $g$, если $\mathrm{\Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы ($S^2$) и $g$ торов $T^2$:

$\mathrm{\Sigma }\sim S^2\mathrm{\#}(\underset{g}{\underbrace{T^2\mathrm{\#}\dots \mathrm{\#}{T}^2}})$.

• Род $g$ ориентированной поверхности $\mathrm{\Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\chi (\mathrm{\Sigma })$:

  $g=\frac{2-\chi (\mathrm{\Sigma })}{2}$.

• Род поверхности $\mathrm{\Sigma }\subset ℂP^2$, являющейся замыканием множества нулей $\{P(x,y)=0\}$ многочлена $P(x,y)$ степени $d$ общего положения, выражается через его степень как:

  $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}.$

• Род гиперэллиптической поверхности $\mathrm{\Sigma }\subset ℂP^2$, являющейся замыканием множества:

  $\{(x,y)\mid y^2=P(x)\}$.

Для свободного от квадратов многочлена $P(x)$ степени $d$, выражается через его степень как:

$g=\lceil \frac{d-1}{2}\rceil$.

Неориентируемые поверхности

• Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, $\mathrm{\Sigma }$ имеет род $g$, если $\mathrm{\Sigma }$ гомеоморфна связной сумме сферы ($S^2$) и $g$ проективных плоскостей $ℝ{\mathrm{P}}^2$:

$\mathrm{\Sigma }\sim S^2\mathrm{\#}(\underset{g}{\underbrace{ℝ{\mathrm{P}}^2\mathrm{\#}\dots \mathrm{\#}ℝ{\mathrm{P}}^2}})$.

• Род $g$ неориентируемой поверхности $\mathrm{\Sigma }$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\chi (\mathrm{\Sigma })$:

  $g=2-\chi (\mathrm{\Sigma })$.

См. также

• Род многообразия