Род многообразия

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

Определение

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

1. φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают ${\mathbb{Z}}_2$ и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядов

Последовательность многочленов K₁, K₂,... от переменных р₁,р₂,... называется Шаблон:Нп1, если из

$1+p_{1}z+p_2{z}^2+\dots =(1+q_{1}z+q_2{z}^2+\dots )(1+r_{1}z+r_2{z}^2+\dots )$

следует

$\sum _i{K}_i(p_1,p_2,\dots )z^i=\sum _j{K}_j(q_1,q_2,\dots )z^j\cdot \sum _k{K}_k(r_1,r_2,\dots )z^k.$

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

$K(p_1,p_2,p_3,\dots )=1+K_1(p_1)+K_2(p_1,p_2)+\dots$

как

$K(p_1,p_2,p_3,\dots )=Q(z_1)Q(z_2)Q(z_3)\dots ,$

где p_k — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными $z_i$.

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

$\mathrm{\Phi }(X)=K(p_1,p_2,p_3,\cdots )$

где p_k есть k-й класс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

Примеры

L-род и сигнатура

L-род определяется характеристическим рядом

$\frac{\sqrt{z}}{\mathrm{th}(\sqrt{z})}=\sum _{k⩾0}\frac{2^{2k}{B}_{2k}{z}^k}{(2k)!}=1+\frac{z}{3}-\frac{z^2}{45}+\dots$

где $B_{2k}$ — числа Бернулли. Первые несколько значений:

• $L_0=1$
• $L_1=\frac{1}{3}{p}_1$
• $L_2=\frac{1}{45}(7p_2-p_1^2)$
• $L_3=\frac{1}{945}(62p_3-13p_1{p}_2+2p_1^3)$
• $L_4=\frac{1}{14175}(381p_4-71p_1{p}_3-19p_2^2+22p_1^2{p}_2-3p_1^4)$

Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина $p_i=p_i(M)$, то значение L-рода на фундаментальном классе $[M]$ равно сигнатуре  $\sigma (M)$, то есть

$\sigma (M)=L_n([M])$.

Тот факт, что L₂ всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-род

Â-род определяется характеристическим рядом

$Q(z)=\frac{\sqrt{z}/2}{\mathrm{sh}(\sqrt{z}/2)}=1-z/24+7z^2/5760-\dots .$

 Первые несколько значений

• ${\hat{A}}_0=1$
• ${\hat{A}}_1=-\frac{1}{24}{p}_1$
• ${\hat{A}}_2=\frac{1}{5760}(-4p_2+7p_1^2)$
• ${\hat{A}}_3=\frac{1}{967680}(-16p_3+44p_2{p}_1-31p_1^3)$
• ${\hat{A}}_4=\frac{1}{464486400}(-192p_4+512p_3{p}_1+208p_2^2-904p_2{p}_1^2+381p_1^4)$

Свойства

• Â-род спинорного многообразия есть целое число,
  • Â-род спинорного многообразия размерности $4(\mathrm{mod}8)$ — чётное целое число.  
• Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
• Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. также

• Теорема Атьи — Зингера об индексе

Ссылки

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Characteristic classes, ISBN 0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class"Шаблон:Недоступная ссылка, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Elliptic genera"Шаблон:Недоступная ссылка, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4