Скалярная кривизна

Скалярная кривизна — два из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается $\mathrm{S}\mathrm{c}$ или $\mathrm{R}$.

Определение

Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.

Пользуясь соглашением Эйнштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора $g$ и тензора Риччи $\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}$

$R=g^{\mu \nu }{\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}_{\mu \nu }.$

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объёму от скалярной кривизны:

$S_G=\varkappa \underset{M}{\int }R$

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны $R$.

Свойства

• Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
  • Интеграл от гауссовой кривизны по компактной поверхности равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на $2\pi$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Задача Ямабе