След матрицы

Шаблон:Дзт След ма́трицы — сумма всех элементов главной диагонали квадратной матрицы, то есть если $a_{ij}$ — элементы квадратной матрицы $A$, то её след $\mathrm{tr}A=\sum _i{a}_{ii}$. Операция взятия следа отображает пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree).

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\mathrm{tr}A$ (от Шаблон:Lang-en — след), и $\mathrm{Sp}A$ (от Шаблон:Lang-de — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $\mathrm{tr}A=I_1(A)=g\cdot \cdot A$.

Определение

Под следом квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ понимают:

$\mathrm{tr}A=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn},$

где $a_{ii}$ — элементы главной диагонали:

$\mathrm{tr}\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$.

Свойства

• Линейность $\mathrm{tr}(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathrm{tr}A+\beta \mathrm{tr}B$.
• $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\mathrm{tr}(C^{-1}AC)=\mathrm{tr}A$.

• $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}{A}^{\mathrm{T}}$, где $\mathrm{T}$ означает операцию транспонирования.
• $\ln \det A=\mathrm{tr}\ln A$.
• Если $A\otimes B$ — тензорное произведение матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math, то $\mathrm{tr}A\otimes B=(\mathrm{tr}A)(\mathrm{tr}B)$.
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы $n\times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$. Например $\det A_{3\times 3}=\frac{1}{6}((\mathrm{tr}A{)}^3-3\mathrm{tr}A\cdot \mathrm{tr}{A}^2+2\mathrm{tr}{A}^3)$.

Геометрическое свойство

• $\det (E+G\epsilon )=1+\mathrm{tr}G\epsilon +o(\epsilon )$,

где Шаблон:Math — единичная матрица, Шаблон:Math — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • $\det \exp (G\alpha )=1+\mathrm{tr}G\alpha$ для малых Шаблон:Math.
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)

Ссылки

• Шаблон:Springer