След (теория полей)

Шаблон:Другие значения След (Шаблон:Lang-en) — отображение элементов конечного расширения поля $E\supset K$ в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени $n=[E:K]$, $\alpha \in E$ — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование $x\mapsto \alpha x$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается ${\text{Tr}}_K^E(\alpha )$ или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто $\text{Tr}(\alpha )$.

Свойства следа

• $\text{Tr}(\alpha +\beta )=\text{Tr}(\alpha )+\text{Tr}(\beta )$
• $\text{Tr}(c\alpha )=c\text{Tr}(\alpha )$ при $c\in K$
• Если Е — сепарабельное расширение, то ${\text{Tr}}_K^E$ — ненулевой функционал, если несепарабельно, то ${\text{Tr}}_K^E=0$.
• След транзитивен, то есть для цепочки расширений $K\subset E\subset F$ имеем ${\text{Tr}}_K^E({\text{Tr}}_E^F(\alpha ))={\text{Tr}}_K^F(\alpha )$
• Если $E=K(\alpha )$ — простое алгебраическое расширение и $f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ — минимальный многочлен α, то ${\text{Tr}}_K^E(\alpha )=-a_{n-1}$

Выражение следа через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

${\text{Tr}}_K^E(\alpha )={\sigma }_1(\alpha )+{\sigma }_2(\alpha )+\dots +{\sigma }_m(\alpha )$

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

Тогда ${\text{Tr}}_K^E(\alpha )=({\sigma }_1(\alpha )+{\sigma }_2(\alpha )+\dots +{\sigma }_m(\alpha ){)}^{m/n}$

Пример

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа $a+bi$ равен $2a$. След комплексного числа можно вычислить по формуле $\text{Tr}z=z+\overline{z}$, и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.

См. также

• Норма (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967